Dado o sistema abaixo, encontra a faixa para o tempo de amostragem que torna o sistema estável:
Passo 1
Para que um sistema discreto seja estável, as raízes de sua equação característica no domínio devem estar dentro do círculo de raio unitário e com centro na origem. Em outras pealavras, o módulo das raízes deve ser menor que .
A equação característica nada mias é do que o denominador da função de transferência em malha fechada, como o exercício já nos deu a expressaõ da função de transferência em malha fechada, a equação característica será:
Passo 2
Como a equação característica é uma equação do segundo grau, ela terá duas raízes. Uma delas é:
E como:
Essa raíz satisfaz ao critério de estabilida, pois está dentro do círculo de raio unitário.
Passo 3
A segunda raíz será:
Para que o sistema seja estável essa raíz também deve atender ao critério de estabilidade, ou seja:
Sendo assim, vamos encontrar os valores de que fazem com que a raíz seja igual a e para determinar a faixa de .
Passo 4
Primeiro vamos achar o valor de que torna a raíz igual a :
Aplicando logaritmo em ambos os lados:
Passo 5
Agora vamos encontrar o valor de que faz com que a raíz seja :
Aplicando logaritmo em ambos os lados:
Portanto a faixa aceitável para o período de amostragem é: