Exercícios Resolvidos de Estabilidade de sistemas discretos

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Enunciado

Determine a faixa de período de amostragem, T , que tornará o sistema mostrado abaixo estável.

Passo 1

Para determinar a estabilidade do sistema digital primeiro devemos encontrar a função de transferência em malha fechada dele no plano z . Para isso, não podemos encontrar a função de transferência no plano s e depois aplicar a transformada Z .

A abordagem correta na verdade é encontrar a função de transferência em malha aberta no plano s , aplicar a transformada Z , encontrando a função de transferência em malha aberta no plano z e com ela encontrar a função de transferência em malha dechada no plano z .

Então vamos lá, primeiro de tudo vamos achara a função de transferência em malha aberta no plano s :

G O L s = 1 - e - T s s 20 s + 5

Passo 2

Agora aplicamos a transformada Z para encontrar G O L ( z ) :

G O L z = Z 1 - e - T s s 20 s + 5

Manipulando um pouco temos:

G O L Z = Z 1 - e - T s Z 2 0 s s + 5

Como pela definição temos que:

z = e T s

Podemos fazer:

Z 1 - e - T s = 1 - z - 1 = z - 1 z

Portanto:

G O L z = z - 1 z Z 20 s s + 5

Passo 3

Para fazer a transformada Z 20 s s + 5 vamos aplicar a divisão em frações parciais:

Z 20 s s + 5 = 2 0 Z 1 / 5 s - 1 / 5 s + 5 = 4 Z 1 s - 1 s + 5

Olhando uma tabela de transformada Z teremos:

4 Z 1 s - 1 s + 5 = 4 z z - 1 - z z - e - 5 T

Portanto:

G O L z = 4 z - 1 z z z - 1 - z z - e - 5 T

Simplificando:

G O L z = 4 1 - z - 1 z - e - 5 T

Fazendo o MMC e juntando tudo:

G O L z = 4 z - e - 5 T - z + 1 z - e - 5 T

G O L z = 4 1 - e - 5 T z - e - 5 T

Passo 4

Com a função de transferência em malha abreta G O L ( z ) podemos encontrar a função de transferência em malha fechada, T ( z ) :

T z = G O L z 1 + G O L z

Portanto:

T z = 4 1 - e - 5 T z - e - 5 T 1 + 1 4 1 - e - 5 T z - e - 5 T

Multplicando em cima e embaixo por z - e - 5 T teremos:

T z = 4 ( 1 - e - 5 T ) z - e - 5 T + 4 ( 1 - e - 5 T ) = 4 ( 1 - e - 5 T ) z - 5 e - 5 T + 4

Passo 5

Para que o sistema seja estável, as raízes da equação característica devem estar dentro da circunferência de raio unitário com centro na origem. A equação característica para o sistema é o denominador da função de transferência, portanto:

z - 5 e - T + 4 = 0

Como é um polinômio de primeira ordem, terá apenas uma raiz, que será:

z = 5 e - 5 T - 4

Ou seja, para que o sistema seja estável é necessário que:

- 1 < 5 e - 5 T - 4 < 1

Passo 6

Vamos primeiro encontrar o valor de T que torna a raíz - 1 :

5 e - 5 T - 4 = - 1

5 e - 5 T = 3

e - 5 T = 0,6

Aplicando logaritmo em ambos os lados:

ln ⁡ e - T = ln ⁡ 0,6

- 5 T = - 0,51

T = 0,102

E agora, vamos ber qual valor de T faz com que a raíz seja 1 :

5 e - 5 T - 4 = 1

5 e - 5 T = 5

e - 5 T = 1

Aplicando logaritmo em ambos os lados:

ln ⁡ e - 5 T = ln ⁡ 1

T = 0

Resposta

Portanto o sistemas é estável em 0 < T < 0 , 10 2 e instável em T > 0 , 10 2 .