Condições de Contorno

E aí! Que bom que você veio aqui :D Esse é um exercício de concurso que checa como estamos na teoria. Afinal, a condição de não escorregamento (ou não deslizamento) vale para qual tipo de fluido?

Primeiro, vamos lembrar quem é essa condição de não escorregamento:

Traduzindo essa equação para o português:

A velocidade do fluido na parede é igual a velocidade da parede, ou seja, a camada de fluido que está diretamente em contato com a parede não desliza, não escorrega, ela mantém a velocidade que a parede está

E agora, vamos analisar uma alternativa de cada vez. o/

A letra (A) fala sobre fluidos ideais, ou seja, fluidos com:

- propriedades uniformes (homogêneas)

- incompressíveis (massa específica constante)

- invíscidos (viscosidade desprezível)

Um fluido invíscido possui viscosidade aproximadamente zero.

Como a viscosidade é uma propriedade relacionada à resistência do fluido ao escoamento, quando , então quase não há resistência para escoar.

Com isso, mesmo que a parede esteja parada, o fluido vai conseguir escoar com sua própria velocidade, porque o atrito será quase nulo. Ou seja, a camada de fluido em contato com a parede vai ter uma velocidade diferente em relação a ela. Conclusão: fluidos ideais deslizam

Logo, fluidos ideais não satisfazem a condição de não deslizamento. Descartamos a alternativa (A).

A alternativa (B) fala de fluidos compressíveis:

Nos fluidos compressíveis, a massa específica varia. Como vimos na alternativa (A), a característica que influencia na velocidade do escoamento é a viscosidade, pois ela está relacionada à resistência ao escoamento (ao atrito!)

A massa específica variar diz respeito a massa e volume ocupado pelo fluido, o que não altera a velocidade do fluido na parede. Então, eliminamos a alternativa (B).

Estamos chegando lá! E os fluidos não newtonianos da letra (C)?

Os fluidos não newtonianos não seguem a Lei de Newton da Viscosidade, ou seja:

Isso significa que em fluidos não newtonianos a tensão cisalhante não é diretamente proporcional à taxa de deformação . Então, nesse tipo de fluido, a viscosidade pode variar.

Além disso, fluidos não newtonianos podem ser compressíveis ou incompressíveis, viscosos ou não viscosos. Então, não podemos afirmar que a condição de não escorregamento é válida para todo fluido não newtoniano. Por isso, a resposta não é a letra C.

Finalmente, chegamos na letra D! Por eliminação sabemos que ela está certa. Mas por que a condição de não-deslizamento é válida para todos os fluidos viscosos?

Isso acontece pois fluidos viscosos possuem , ou seja, há resistência ao escoamento, temos atrito. Por conta dessa resistência, a camada de fluido mais próxima à parede vai ficar com a mesma velocidade da parede.

Como está acontecendo um escoamento, vamos ter uma distribuição de velocidade, em que as camadas acima desta ficam com velocidades maiores, até atingir um valor máximo. Se tiver outra parede em cima, a distribuição de velocidade seria algo parecido com isso:

Então, a condição de não escorregamento é válida para todo fluido viscoso.

Esse exercício nos pede as condições de contorno. Analisando o fundo desse escoamento, ou seja, onde y = 0, temos uma parede, certo?

Isso significa que temos uma condição de fronteira. Assim, podemos aplicar em , a condição de não deslizamento, ou a hipótese de não-escorregamento

Nesse exercício, a velocidade é , logo

Como a parede está parada (no enunciado não há nada informando se a superfície está em movimento), então a velocidade do fluido naquele ponto será zero

Então, a condição de contorno no fundo é

Agora vamos analisar a superfície superior do escoamento, ou seja, onde y = h

Nessa parte não há uma parede. Então não podemos aplicar a condição de não deslizamento. Porém, se não há parede (placa ou barreira), não há tensão cisalhante

Considerando que o fluido é newtoniano, ele obedece a Lei de Newton da Viscosidade

A tensão cisalhante é 0 em y = h, logo

No fluido newtoniano, a viscosidade é constante, então:

E essa é a condição de contorno na superfície em y = h.

Opa! Para encontrar as condições de contorno, vamos por partes. Nesse exercício, temos:

- condições de fronteira (paredes)

- condições de entrada/saída (velocidade)

- condições de entrada/saída (pressão)

Com essas condições, conseguimos utilizar e simplificar as equações da continuidade e Navier-Stokes.

Como são tubos, vamos adotar a coordenada r para o raio e z para a direção do escoamento, ok? Então vamos lá, começando pelas condições de fronteira.

Todas as paredes são fronteiras. E como o enunciado não menciona que esse tubo está em movimento, então vamos considerar que ele está parado (velocidade = 0).

Logo, pela condição de não-escorregamento, a velocidade do fluido nas paredes é zero

As paredes correspondem a , , além da superfície vertical onde ocorre o aumento brusco de raio. Logo, as velocidades e nesses pontos são nulas

Essas são as condições de contorno de fronteira

Para as condições de contorno de entrada (1), devemos considerar que a distribuição de velocidades é conhecida na primeira parte da tubulação a partir de um certo

Além disso, na saída (2) precisamos conhecer também o comportamento da velocidade. Isso acontece a partir de , após os turbilhões de velocidade se estabilizarem.

Finalmente, precisamos definir como condição de contorno a entrada ou a saída da pressão. Assim, utilizando a equação da Continuidade e Navier-Stokes será possível calcular a pressão na seção que se deseja conhecer (saída ou entrada)

Em geral, conhecemos a entrada dos escoamentos e queremos saber o que acontece na saída. Fazendo a hipótese de que a pressão na entrada (1) é conhecida, temos a seguinte condição válida:

E assim encontramos todas as condições de contorno para aplicar a continuidade e Navier-Stokes nesse problema. 😊

Temos um escoamento oscilatório... o que isso significa?

Significa que nesse tubo em U existe uma situação inicial e outra final, e a coluna de líquido oscila para chegar na posição de equilíbrio. Então o escoamento nesse exercício não é permanente: o regime é transiente.

Ok! Então quais seriam as condições de contorno?

Como nosso regime é transiente, isto é, as propriedades variam com o tempo, nós precisamos conhecer as condições iniciais. Precisamos responder à pergunta: Em quais alturas z estão cada lado da coluna de líquido em t = 0?

Posicionando a referência

Além disso, vamos assumir que o sistema está inicialmente parado como condição inicial também

Até aqui definimos as condições iniciais do problema. Agora precisamos definir as condições de fronteira. Nesse problema temos 2 tipos de condições de fronteira

- Paredes (o tubo em U é uma barreira sólida ao escoamento)

- Interfaces (a coluna de líquido tem 2 interfaces com a atmosfera)

Nas paredes, onde o raio é o raio do tubo (r=R), pela condição de não deslizamento, a velocidade do fluido será zero

Além disso, na interface temos um sistema fluido/atmosfera. Considerando que a variação de altura da coluna não é brusca, a pressão do fluido é a pressão atmosférica nos pontos de interface

Com essas condições, conseguimos resolver o problema :D

Oi! Nesse exercício, vamos pensar nas condições de contorno não só para a continuidade e Navier-Stokes (o que envolve velocidade e pressão), como também para a equação da energia, o que envolve temperatura.

As nossas condições de contorno são:

- condições de entrada (z = 0)

- condições de fronteira (parede)

Condições de entrada

A situação mais comum nesse tipo de problema é considerar que o perfil de velocidade na entrada do tubo é conhecido, uniforme e puramente axial (componente radial da velocidade é nula). A velocidade é descrita por

Do mesmo modo, podemos considerar a temperatura na entrada (z = 0) uniforme e igual a uma constante

Além disso, para resolver Navier-Stokes, a pressão na entrada também pode ser conhecida

Beleza, conhecemos as condições de entrada!

Na parede, vamos considerar a condição de não deslizamento

A parede é onde r = R e ela está parada, então

Além disso, assumimos que o escoamento ocorre apenas na direção z (puramente axial)

Para fechar, a cereja do bolo sobre a fronteira é essa parte do enunciado:

“As paredes do tubo estão envolvidas por uma resistência elétrica que fornece calor para o fluido a uma taxa (energia por unidade de área da parede)”

Essa taxa pode ser definida dessa forma (considerando que o calor entrando no sistema é positivo):

Será que essas unidades estão certas? Vamos conferir

Confere! Então, essa equação é válida na parede, ou seja, em r = R

Agora sim, cereja do bolo colocada, encontramos as condições de contorno no problema. o/

Fala galera! Então esse exercício envolve um pouquinho de Equação da Continuidade, um pouco de Navier-Stokes e no final vamos aplicar as condições de contorno que o problema nos fornece.

Temos as seguintes informações de contorno:

Líquidos são normalmente incompressíveis e apresentam viscosidade constante:

Vamos checar para ver se a continuidade é satisfeita nesse escoamento:

Aplicando nosso campo de velocidades:

Sobra o seguinte termo

Que também é zero, logo o escoamento satisfaz a continuidade.

Como a massa específica e a viscosidade são constantes, podemos utilizar as esquações de Navier-Stokes:

Sabemos que depende apenas de e que

Se decompormos a força gravitacional nas componentes fornecidadas:

Substituindo na primeira expressão o valor de e :

Se , em qualquer a pressão é constante. Logo:

Ou em função do peso específico

Sabemos de quando calculávamos vazão que:

No nosso caso calcularemos a vazão por unidade de largura, que no caso é

Se

Substituindo

UAU! Esse exercício pediu coisa para caramba, mas nem deu tanta informação assim! Quem poderá nos defender?

Primeiro, vamos ilustrar o que está acontecendo:

Temos duas condições de contorno. Uma delas é a condição de não deslizamento. Na placa, ou seja em y = 0, a velocidade u do fluido é 0, pois a placa está parada.

A outra está relacionada a superfície livre, ou seja, na superfície do fluido mais distante da placa (y=h). Já que não há um sólido ali para que seja possível aplicar uma força paralela ao movimento, podemos considerar que a tensão de cisalhamento ali é zero!

Lembrando que a água é um fluido newtoniano, vale a Lei de Newton da Viscosidade

Logo, a taxa de deformação du/dy será zero em y = h

Essas são as condições de contorno que vão nos ajudar a resolver a questão. Vamos voltar para as equações então?

As equações de Navier-Stokes simplificadas para esse caso foram dadas no enunciado e são essas aqui:

Para descobrir o perfil de velocidade que o enunciado pediu, vamos integrar a primeira equação, beleza? Vamos isolar o termo no qual a velocidade u aparece!

Daí, pela geometria do problema, a componente da gravidade na direção x é:

Substituindo em Navier-Stokes

Agora sim, hora de integrar. No lado direito, nenhuma variável depende de y 😉

Precisamos integrar mais uma vez

Para descobrir e , vamos aplicar as condições do contorno no Passo 1. A primeira foi a condição de não deslizamento:

Aplicando no perfil de velocidade

Atualizando o perfil de velocidade:

A segunda condição de contorno foi da tensão cisalhante na superfície livre (y=h)

A expressão de du/dy é

Em y=h:

Logo

Atualizando o perfil de velocidades

Colocando em evidência

Show! Encontramos o perfil de velocidades usando as condições de contorno! Com ele dá para achar a expressão da tensão cisalhante

Para achar a distribuição de tensão de cisalhamento, vamos usar a Lei de Newton da Viscosidade

No passo anterior descobrimos u, logo du/dy é:

Substituindo na Lei de Newton da Viscosidade:

E essa é a distribuição de tensão cisalhante

Agora é a vez da vazão volumétrica. Vamos usar a definição de vazão:

A área é a área transversal do escoamento. É uma largura b (entrando na tela) multiplicada pela altura y

Sabemos que u é o perfil de velocidade

Integrando

Essa é a vazão volumétrica :D Suuucesso! Agora, vamos calcular a velocidade média.

Sei que é muita coisa, mas a velocidade média já tá quase toda calculada. Ela é vazão volumétrica sobre área transversal

Acabamos de calcular Q, vamos substituir

Simplificando

Viu! Rapidinho achamos :D

Finalmente, vamos lembrar da última parte do enunciado

“Relacione a espessura do filme de líquido com a vazão volumétrica em um filme de água com espessura , escoando sobre uma superfície de largura , inclinada de em relação à horizontal.”

Traduzindo: encontre a vazão volumétrica utilizando esses números indicados na figura

Lembrando que já calculamos a expressão da vazão volumétrica

Substituindo

Como o fluido é a água

YAY! Fechamos o exercício 😉 Foi longo, mas olha quanta coisa conseguimos achar utilizando as condições de contorno em Navier-Stokes!

Vamos começar entendendo melhor esse espaço anular? Essa figura ilustra o escoamento:

Os cilindros são concêntricos, sendo que o de dentro está parado e o de fora está girando. Com isso, temos as condições de contorno!

Afinal, qual delas? Iremos aplicar nos cilindros a condição de não-deslizamento, beleza? Vamos lá

No cilindro interno, ou seja, em , pela condição de não-deslizamento, o fluido estará parado, pois o cilindro de dentro está parado. Logo,

Olhando para o cilindro externo, ou seja, em r = , por essa mesma condição (a de não deslizamento), a velocidade do fluido será...

Dessa vez, a velocidade não é zero, pois o cilindro de fora está se movendo. Ele se move justamente com essa velocidade 😊

Beleza! Agora que sabemos as condições de contorno, vamos dar uma olhadinha na equação que o enunciado deu.

A equação de Navier-Stokes simplificada é

Como queremos encontrar o perfil de velocidades, precisamos integrar essa equação.

Integrando

Integrando de novo:

Isolando , já que queremos saber o perfil de velocidades

Opa! Vamos descobrir essas constantes e agora!

Para descobrir essas constantes, vamos usar as condições de contorno. No cilindro de dentro, temos a condição de contorno

Substituindo no perfil de velocidade

Arrumando

Ok! Encontramos uma expressão relacionando as duas constantes c1 e c2. Vamos em busca de outra expressão através da segunda condição de contorno (a do cilindro externo)

Substituindo no perfil de velocidade

Isolando

Yes! Encontramos duas expressões descrevendo em função de . Igualando as duas expressões

Isolando :

Substituindo em uma equação de c1

Finalmente, substituindo no perfil de velocidade:

Arrumando a casa:

Encontramos o perfil de velocidade!