Método dos Parâmetros Concentrados
Produzido por Giovanna RonzéTeoria
Introdução
A gente já estudou muitas coisas, mas todas tinham algo em comum: a gente sempre assumia que o estado era estacionário. Sendo assim, as propriedades não mudavam ao longo do tempo.
Mas imagina que você pegue um corpo que está dentro do forno a uma temperatura alta e a coloque em uma piscina com água bem gelada . Se a gente acompanhar a temperatura desse corpo, ela vai diminuir ao longo do tempo.
Logo que a gente coloca o corpo ali dentro, existe um gradiente de temperatura entre ele e o fluido, gerando um fluxo de calor. Sendo assim, o corpo perde energia. Ao perder essa energia, sua temperatura diminui. E isso acontece até a temperatura do corpo se igualar à do fluido.
Esse é um caso típico de um problema em que uma propriedade (a temperatura) varia no tempo. A isso chamamos de regime transiente!
No caso do regime estacionário, a gente conseguiu várias expressões analíticas para descrever o perfil de temperatura na parede plana, na esfera, no cilindro... Mas com o regime transiente não é tão fácil, as soluções analíticas são bem mais raras!
Mas o que é o método dos parâmetros concentrados?
Pois bem, o método dos parâmetros concentrados é uma das poucas soluções analíticas que a gente pode conseguir. Mas, como nada é de graça, pra usar esse método a gente adota uma simplificação:
“A condutividade do material () deve ser considerada infinita, para que a temperatura do sólido seja constante a cada instante de tempo.”
Não existem materiais com condutividade térmica () infinita. Mas, se a resistência de condução no interior do sólido for muito pequena quando comparada a resistência de convecção , aí a gente pode assumir que a condutividade térmica é “infinita”. Ou seja:
Dividindo os dois lados da inequação por , a gente fica com:
Para o caso da parede plana, a gente pode substituir as expressões das resistências:
Reorganizando a inequação:
Pronto! Agora tá mais tranquilo de ver como a gente define, na prática, se essa aproximação é válida. Com os valores de , e conhecidos, a gente calcula essa razão e verifica se o valor é muito menor do que .
Só que essa razão é tão importante que recebe uma nomenclatura especial, esse é o que chamamos do número de Biot ():
Mas você pode estar pensando: “Se esse número der já tá bom? Ou ele tem que ser pra eu considerar que é muito menor do que ?”
É uma ótima pergunta! Muitos experimentos foram feitos e observaram que a simplificação já é válida se:
Então, se der você não pode usar esse método dos parâmetros concentrados, mas se der já pode!
A gente só vai usar esse método pra parede plana?
Ótima pergunta, pequeno gafanhoto! E a resposta é “não”! A gente pode usar pra esferas e cilindros também usando o mesmo cálculo do número de Biot ().
Só que o comprimento vai virar um comprimento característico e ele pode ser definido de duas formas:
- Razão entre o volume e a área superficial do sólido.
- Comprimento correspondente à maior diferença de temperatura no sólido.
Pra calcular pela primeira definição, basta saber como calcular os volumes e áreas, mas pra usar a segunda definição, você tem que prever onde seria o ponto mais quente e onde seria o ponto mais frio no sólido e encontrar essa distância.
Mas fica tranquilo, que eu já coloquei tudo bonitinho aqui pra você! Dá uma olhada:
Tudo muito bonito, mas como fazer os exercícios?
Isso aí! Pra isso, nada melhor que um exemplo! Você se lembra daquele corpo tava quente () e você imergiu num fluido frio (). Bora falar dele então!
Como tudo em Transferência de Calor, bora fazer um balanço de energia nesse corpo:
Como não tem nenhuma energia entrando e o corpo não gera calor por si só, a gente fica com:
A taxa de calor de saída () é uma taxa de convecção, então a gente sabe como escrever sua expressão. E a taxa de acúmulo () a gente já viu como pode escrever também:
Em que é a temperatura do corpo num dado instante e vale no início ().
Vamos fazer aquela mudança de variável para a temperatura de excesso ():
Essa é a equação que a gente tem pra resolver! Existem basicamente dois casos de problemas envolvendo o regime transiente:
Caso A: A gente sabe qual a temperatura final do corpo e queremos saber quanto tempo é necessário pra que essa temperatura seja alcançada. (Variável de interesse: )
Caso B: A gente sabe quanto tempo o corpo vai ficar exposto ao fluido e quer saber sua temperatura final. (Variável de interesse: )
Então a gente pode resolver a equação de duas maneiras, uma para cada caso:
Caso A: Solução para o tempo.
Integrando em ambos os lados:
Caso B: Solução para a temperatura.
Aplicando a exponencial em ambos os lados e isolando o termo , a gente fica com:
Podemos escrever mais suscintamente a expressão como:
Em que, a constante de tempo () é dada por:
OBS: Nessa solução, a gente pode ainda reorganizar os termos dentro do expoente e verificar a presença de dois números adimensionais importantes: o número de Biot () e o número de Fourier ().
Em que:
Como calcular a quantidade de calor trocada?
Além de saber a temperatura ou o tempo, às vezes a gente tá interessado em saber a quantidade de energia total que foi transferida (). Pra isso, basta a gente integrar a taxa de calor ao longo do tempo:
Substituindo a expressão da temperatura de excesso que encontramos:
Integrando a expressão:
Prontinho! Agora você já tá preparado pra enfrentar os desafios do regime transiente com o método da capacidade concentrada!