Energia Específica e escoamento sobre elevação

Produzido por Raphael Eloi
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Teoria

Profundidade Crítica

Fala time!

Hoje vou te mostra um novo negócio, ele é um pouquinho abstrato no início, mas depois vai fazer mais sentido.

Vou tentar te dar uma ideia do ponto que a gente vai chegar no final. Já percebeu que em alguns rios a gente tem a formação de ondas?

Isso aí acontece principalmente pela geometria do fundo do rio, pela profundidade do escoamento e pela velocidade. Mas vamos com calma, um passo de cada vez

Então se lembra da equação da energia?

z 1 + V 1 ² 2 g + p 1 ρ g = z 2 + V 2 ² 2 g + p 2 ρ g + h p

Em canais abertos somente as componentes de velocidade V 1 ² 2 g e elevação z 1 que influenciam na energia do sistema. Isso acontece por que a pressão é a atmosférica em todos pontos.

Mas o importante é entender que o nome da equação é por que realmente representa a energia do sistema. Mais especificamente a energia específica:

E = y + V ² 2 g

Repare que mudei umas coisinhas. Ao invés da elevação vamos falar da profundidade y e da velocidade do escoamento V , e vamos supor que não temos atrito.

Em todo escoamento desse tipo, existe uma energia mínima E m i n que nos dará uma informação valiosa sobre o escoamento, a profundidade crítica.

Vamos analisar um caso simples de um canal retangular, vamos escrever a expressão da energia específica toda em funç��o de y .

Lembre-se que Q = V A , e no retângulo A = b y , logo,

Q = V b y   o u   Q b y = V

Substituindo na expressão:

E = y + Q ² 2 g b ² y ²

Vamos derivar E em y e igualar a zero:

d E d y = 0

1 - 2 Q 2 2 g b 2 y 3 = 0

Logo

1 = Q 2 g b 2 y 3

y = y c = Q 2 g b 2 1 / 3

Este valor de y é a profundidade crítica, que costumamos chamar de y c .

Isso vai ajudar a gente a dizer se o escoamento é crítico, subcrítico ou supercrítico. E isso tem tudo a ver com um fator adimensional chamado número de Froude.

Um escoamento estar em regime supercrítico significa que temos variações de elevação na superfície livre ou simplesmente ondas. E isso tem algumas implicações em como analisaremos o escoamento.

Antes vou explicar rapidinho o que é esse tal Froude.

Número de Froude

Lembra do número de Reynolds, que além de outras coisas dizia se um escoamento é laminar, de transição ou turbulento?

Existe outro adimensional, chamado número de Froude:

F r = V V o n d a = V g y

Ele vai nos dizer se o escoamento é subcrítico, crítico ou supercrítico, ou seja se a velocidade do escoamento é menor, igual ou maior a velocidade da onda que se propaga no fluido.

Escoamento sem atrito sobre uma elevação

Isso tudo que a gente viu serve pra gente analisar o seguinte problema:

Se temos um escoamento supercrítico o nível do fluido sobe quando passa por uma elevação.

E se está em regime subcrítico, o nível do fluido diminui.

As equações que regem esse problema são:

A equação da continuidade:

Q 1 = Q 2

V 1 y 1 b = V 2 y 2 b

V 1 y 1 = V 2 y 2

E a equação da energia:

E 1 = E 2 + ∆ h

y 1 + V 1 ² 2 g = y 2 + V 2 ² 2 g + ∆ h

Substituindo uma na outra e ajeitando as coisas:

y 2 ³ - V 1 2 2 g + y 1 - ∆ h y 2 2 + V 1 2 y 1 ² 2 g = 0

Vamos praticar um pouco porque hoje teve muita informação pra digerir.

Número de Froude

Escoamento sem atrito sobre uma elevação

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