Equação da Quantidade de Movimento

Vamos começar escolhendo o volume de controle. Como estamos tratando de forças e a placa está sofrendo ação de forças ela deve ser englobada no nosso volume de controle, assim como o escoamento.

Sendo assim vamos escolher esse volume de controle:

Onde temos três superfícies em que o escoamento a atravessa perpendicularmente.

Como queremos a força e ela atua somente na direção , vamos montar a equação de momento apenas na direção .

Como vimos na teoria, a equação será:

Onde é a componente da velocidade do escoamento do fluido na direção , sendo assim como o escoamento do fluido que vai para cima e para baixo não tem componente na direção , temos que:

Assim a nossa equação fica assim:

Menos porque a força está atuando na direção contraria ao eixo .

O fluxo de massa a gente já viu que se velocidade e área são constantes, então:

Assim,

Sendo a densidade da água aproximadamente

Agora, voltando na equação da força temos:

Qual é o primeiro passo??

Escolher o volume de controle, muito bem. É necessário que esse volume de controle englobe o escoamento e a pá. Assim uma boa opção é:

Beleza, agora o segundo passo é montar a equação de momento linear para o eixo desejado, que nesse caso é o eixo .

O interessante nessa questão é você perceber que o fluxo de massa que entra é exatamente o mesmo que sai. Para isso é necessária que área de entrada e saída seja a mesma e isso confere .

Além disso, é preciso ter a velocidade igual, o que também confere, . Na vazão o sentido não importa, apenas o módulo da velocidade.

Assim, temos:

Agora sim, o sentido da velocidade importa, como adotamos o sentido positivo para a direita temos que a velocidade de saída é negativa.

Agora vamos abrir a vazão mássica.

O que a gente quer é a velocidade , sabendo que a força aplicada é , então temos:

Isolando a velocidade:

Vamos ver se pegamos o jeito. O primeiro passo é escolher o volume de controle.

Agora, temos que descobrir a velocidade de saída do fluido. Nesse caso foi dado a vazão de saída se soubermos a área, sabemos a velocidade.

A área de saída é a área do tubo menos a área do tampão.

Assim, a velocidade será:

Agora, precisamos saber da velocidade de entrada. Como a água é um fluido incompressível, assim a vazão de entrada deve ser igual a vazão de saída.

Além disso haverá a ação de uma força de pressão, vimos na teoria que a força de pressão quando a pressão é constante e a área também será . A pressão em montante é a pressão na região de entrada.

Agora vamos montar a equação de momento linear.

Novamente, o primeiro passo é escolher o volume de controle. Que nesse caso será o próprio bocal. Assim:

Essa questão temos que nos atentar ao fato da pressão dentro do bocal ser diferente da de quando ele sai. Assim temos uma força de pressão que não podemos esquecer.

Além disso não sabemos a velocidade de saída e para descobrir isso vamos usar a conservação de massa, isso mesmo o que aprendemos na teoria passada vai servir de auxilio nessa e nas demais teorias.

E depois disso iremos montar a equação de momento linear.

Vamos começar calculando a força de pressão. Vimos na teoria que se a pressão for constante:

Assim, como temos pressão e área constante, a nossa força de pressão será:

Agora, vamos calcular a velocidade de saída do fluido. Para isso vamos lembrar que o principio de conservação de massa, nos fornecia que o fluxo de massa que entra em um sistema incompressível e permanente deve ser igual ao fluxo de massa que sai.

Assim, chegávamos na equação:

Como a velocidade e a seção reta de entrada e de saída são constantes, podemos abrir a vazão em .

Cortando a densidade e substituindo os valores que conhecemos temos:

Porém essa velocidade é na direção de , iremos precisar da velocidade apenas na direção , assim iremos decompor essa velocidade:

Beleza, agora vamos aplicar a equação de momento linear:

As forças atuando serão a força que atua no boca e é ela que queremos descobrir e a força de pressão. Assim temos:

As vazões mássica a gente já viu que são iguais assim,

Voltando para a equação de momento, temos:

Para começar, vamos escolher o volume de controle (VC)?

Dentro do volume de controle, precisamos incluir o tanque (que sofre a ação a força de tração) e a saída de água pelo bocal (já que conhecemos sua velocidade!).

Esse VC está destacado em vermelho na figura abaixo:

Show! Vamos então para o Passo 2: utilizar a equação de momento linear!

Vamos usar a equação para o eixo x, pois a velocidade imediatamente na saída do bocal encontra-se apenas nessa direção. Além disso, é no eixo x que está a tração, que é quem precisamos encontrar.

Outra vantagem de analisar a conservação do momento linear no eixo x: não tem outra força atuando nele. :D A força peso atua no eixo y.

Então vamos lá! Assumindo escoamento permanente, fluido incompressível, pressão atmosférica atuando de forma simétrica no tanque e propriedades uniformes, podemos usar essa equação:

No VC, não há uma vazão de entrada. Apenas saída.

Sabemos que a velocidade na saída em x é . Além disso, a tração T é a única força atuando nesse eixo:

Tá faltando encontrar essa vazão mássica. Para isso, podemos dizer que no fluido incompressível:

E a vazão volumétrica, por sua vez, é , então:

A área de saída é a área do bocal circular de diâmetro . Convertendo para o sistema internacional:

Voltando na equação do momento linear

Como

O enunciado pede a Tração quando , logo:

Vamos ao primeiro passo que é escolher o volume de controle (VC). Queremos saber a componente x da força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo, logo, o VC precisa passar pela conexão tubo-cotovelo.

Além disso, temos informações sobre a saída do cotovelo, então é interessante que o VC passe por lá.

O toque final é deixar esse volume de controle o mais simétrico possível. Com isso, olha só quem foi escolhido:

Hora de aplicar a equação da conservação do momento linear! O enunciado pede a componente x da força, então vamos analisar a equação na direção x, beleza?

Fazendo as hipóteses de escoamento permanente, fluido incompressível e propriedades uniformes, podemos usar essa equação:

Repara que u é a componente da velocidade em x. Na saída do cotovelo, a velocidade está somente no eixo y, logo

E qual seria a velocidade de entrada? O cotovelo está no plano horizontal e pela figura, podemos perceber que na entrada do VC:

Ok! Mas quem é , não é mesmo? Então, vamos conseguir calcular a velocidade de entrada pela vazão volumétrica e diâmetro do tubo que o enunciado deu. A conta é essa aqui:

Lembrando de converter as unidades para o SI: e :

Então, a componente da velocidade de entrada em x é

Para encontrar a vazão mássica, podemos usar a seguinte relação já que assumimos a hipótese de fluido incompressível (água)

Substituindo

Agora a pergunta que não quer calar... Quais forças atuam no eixo x?

Temos a força do tubo sobre o cotovelo , além da força de pressão do fluido na seção 1 :

Lembrando que

E

Utiliza-se a pressão manométrica, pois a pressão atmosférica atua de forma simétrica. Assim:

Essa é a força exercida pelo tubo sobre o cotovelo. Para achar, a força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo, (reação) trocamos o sinal.

O primeiro passo é estipular o volume de controle, que nesse caso será o próprio irrigador.

Assim a próxima coisa a se fazer é descobrir a velocidade de saída do fluido.

Como sabemos a vazão, descobrir a velocidade não é tão difícil se tivermos a secção reta.

Como temos duas saídas vamos somar a área das duas. Fazendo assim:

A velocidade é:

Observe que passamos a vazão para .

Agora vamos aplicar a equação de momento angular:

Repare que o irrigador gira no sentido anti-horário, o que produz um torque positivo pela regra da mão direita. Como o torque aplicado é um torque resistente (para manter os braços sem rotação), então colocamos o sinal negativo para o torque na equação, para encontrar seu módulo

Lembra do principio da continuidade que falava que em um escoamento incompressível a vazão de entrada é igual a de saída, assim e que se for um escoamento permanente é constante e podemos escrever que

Beleza, então ficamos com:

O que acontece é que nesse problema a velocidade de entrada e o braço de alavanca estão na mesma direção, assim o produto vetorial é nulo. Deixando só:

Só que isso tudo só vale para um referencial inercial, e por isso a velocidade da saída será “ajustada” para um referencial inercial.

Onde esse é a velocidade de entrada da água no irrigador e é a velocidade do irrigador na saída. A velocidade da água na saída é uma relação entre a de entrada (não estamos considerando perdas) e a do irrigador na saída 😉

Agora substituindo na equação que encontramos temos:

A vazão mássica é .

Agora só falta resolvermos o produto vetorial que temos:

Sabemos que é na direção e a velocidade na direção , assim lembrando que é igual a , então temos:

Beleza, agora podemos terminar a equação:

Chegamos na equação que queríamos.

Nesse item queremos o torque para que o irrigador não gire, assim .

Então:

Agora temos que substituir os valores que conhecemos

Agora não há torque, assim temos:

Só falta deixar na unidade certa, uma rotação significa e

Assim:

O Volume de Controle já está ilustrado na figura. 😊 Então, nesse primeiro passo, vamos converter as unidades para o sistema internacional.

O próximo passo é calcular a velocidade de saída em cada braço.

Pelo princípio da continuidade e admitindo uniformidade das propriedades, será 1/3 da vazão volumétrica total sobre a área da saída do braço:

Desprezando o atrito (conforme o enunciado diz) e considerando escoamento permanente, é válida a equação:

Substituindo:

A letra a pede a velocidade angular para , logo:

Convertendo para rpm:

A letra b pede a velocidade angular para , então:

Convertendo para rpm: