Equação da Quantidade de Movimento

Produzido por Raphael Eloi
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Teoria

Equação de Momento Linear

Imagine uma tubulação de água, será que quando a água escoa pela tubulação ela faz alguma força na tubulação?

Imagine que essa tubulação faz curvas, onde a tubulação faz curva há ação de forças?

Isso tudo quem vai nos responder é a quantidade de movimento, estudamos a conservação de quantidade de movimento em sólidos e agora vamos extender isso aos fluidos.

E para isso vamos usar o teorema de transporte de Reynolds.

d d t B s i s t e m a = d d t ∫ V C β ρ d V + ∫ S C β ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C β ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Lembra que momento linear é P = m . v , então essa será nossa propriedade analizada. E β = d B d m → d m . v d m = v isso se a velocidade do escoamento for constante.

d d t m . v s i s t e m a = d d t ∫ V C v . ρ d V + ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Vamos analisar o primeiro termo: d d t m . v s i s t e m a

A massa do sistema é constante, assim temos m . d v d t , opaaa isso a gente já viu láaa no inicio da faculdade que é a aceleração:

  d d t m . v s i s t e m a = m . a

Que a segunda lei de Newton chama de força, assim

d d t m . v s i s t e m a = F s i s t e m a

∑ F s i s t e m a = d d t ∫ V C v . ρ d V + ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

O segundo termo irá ser zero sempre que tivermos um escoamento permanente, pois em um escoamento permante d ρ d t = 0 .

Assim, ficamos com:

∑ F s i s t e m a = ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Na teoria passada estudamos a propriedade da massa e lá chegamos no seguinte resultado:

m ˙ = ρ ∫ A v c o s θ . d A

Como estamos assumindo que a velocidade do nosso escoamento é constante, chegamos em:

∑ F = v . m ˙ s a í d a - v . m ˙ e n t r a d a

É essa equação que vamos usar para resolver todos nossos problemas.

Só que força é uma grandeza vetorial, assim o que vai acontecer é que iremos dividi-la de acordo com suas direções, assim ficando com três equações:

x →   ∑ F x = v x s a í d a . m ˙ s a í d a - v x e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

y →   ∑ F y = v y s a í d a . m ˙ s a í d a - v y e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

z →   ∑ F z = v z s a í d a . m ˙ s a í d a - v z e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

Moleza, certo?

Mas nem tudo são flores. Nesse sistema tem varias forças que vão poder atuar, mas uma muito conhecida e que vai aparecer frequentemente será a força de pressão.

Ou seja, não podemos esquecer de considerar a força causada por uma distribuição de pressão.

Essa força é calculada por:

∫ S C - p . c o s θ . d A

Caso, tenhamos uma pressão constante e perpendicular a superfície de controle podemos simplificar isso para

F p = ∫ S C - p d A = - p . A

Equação de Momento Angular

Estudamos o caso linear agora vamos estudar o caso angular. São bem parecido.

A nossa propriedade é o momento angular que é definido como B = ∫ r × v d m

Assim, β = d B d m = d d m ∫ r × v d m = r × v

d d t ∫ r × v d m s i s t e m a = d d t ∫ V C r × v ρ d V + ∫ S C r × v ρ v r c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C r × v ρ v r c o s θ   d A e n t r a d a

O primeiro termo é igual ao momento do sistema, assim:

∑ M = d d t ∫ V C r × v . ρ d V + ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Se o escoamento for permanente, temos:

∑ M = ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A s a i d a - ∫ S C r × v ρ . v r . c o s θ   d A e n t r a d a

Vmaos usar a notação de fluxo de massa para deixar mais bonita:

∑ M = r × v s a í d a . m ˙ s a í d a - r × v e n t r a d a . m ˙ e n t r a d a

Essa teoria consiste em aplicar duas formulas, então vamos treinar aplicá-las fazendo alguns exercícios.

Equação de Momento Angular

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