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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 103

4.103 Ar entra em um duto, de diâmetro D = 25,0   m m , por uma entrada bem arredondada com velocidade uniforme, U 1 = 0,870   m / s . Em uma seção a jusante, onde L = 2,25   m , o perfil de velocidade intermante desenvilvido é

u r U c = 1 - r R 2

A queda de pressão entre essas seções é p 1 - p 2 = 1,92   N / m 2 . Determine a força total de atrito exercida pelo tubo sobre o ar.

Passo 1

Primeiro precisamos calcular U c . Vamos fazer isso pela equação de continuidade. Sabendo que R = D / 2 = 0,0125   m ,

U 1 A = ∫ 0 R U c 1 - r R 2 2 π r   d r

U 1 π R 2 = ∫ 0 R 2 π U c r - r 3 R 2   d r

U 1 π R 2 = 2 π U c r 2 2 - r 4 4 R 2 0 R

U 1 π R 2 = 2 π U c R 2 2 - R 4 4 R 2

U 1 π R 2 = 2 π U c R 2 2 - R 2 4

U 1 π R 2 = 2 π U c R 2 1 2 - 1 4

U 1 = U c 2

U c = 2 U 1

U c = 2 0,87

U c = 1,74   m / s

Passo 2

Vamos usar a componente x da equação de quantidade de movimento para calcular a queda de pressão.

R x + p 1 A - p 2 A = U 1 - ρ U 1 A + ∫ 0 R U 2 ρ U 2 2 π r   d r

R x + p 1 A - p 2 A = U 1 - ρ U 1 A + ∫ 0 R U c 1 - y R 2 ρ U c 1 - r R 2 2 π r   d r

R x + p 1 A - p 2 A = U 1 - ρ U 1 A + ∫ 0 R 2 π ρ U c 2 r - 2 r 3 R 2 + r 5 R 4   d r

R x + p 1 A - p 2 A = U 1 - ρ U 1 A + 2 π ρ U c 2 r 2 2 - 2 r 4 4 R 2 + r 6 6 R 4 0 R

R x + p 1 A - p 2 A = U 1 - ρ U 1 A + 2 π ρ U c 2 R 2 2 - R 4 2 R 2 + R 6 6 R 4

R x + p 1 A - p 2 A = U 1 - ρ U 1 A + 2 ρ U c 2 π R 2 1 2 - 1 2 + 1 6

R x + p 1 A - p 2 A = U 1 - ρ U 1 A + 2 ρ U c 2 A 1 6

R x = A - p 1 + p 2 + U 1 - ρ U 1 + ρ U c 2 1 3

R x = π R 2 - p 1 - p 2 - ρ U 1 2 + ρ U c 2 1 3

R x = π 0,0125 2 - 1,92 - 1,19 0,87 2 + 1,19 1,74 2 1 3

R x = - 0,0008   N

Resposta

R x = - 0,0008   N

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