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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 13

Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada-limite laminar e incompressível é uma variação cúbica de u = 0 na superfície ( y = 0 ) até a velocidade de corrente livre, U , na borda da camada-limite ( y = δ ) . A equação do perfil é u U = 3 2 y δ - 1 2 y δ 3 , em que δ = c x 1 2 , sendo c uma constante. Deduza a expressão mais simples para δ U , a componente y da razão de velocidades. Avalie a razão na qual δ = 5   m m e x = 0,5   m .

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Sabendo que:

u = U 3 2 y δ - 1 2 y δ 3

Então:

∂ ∂ δ U - 3 2 y δ 2 + 1 2 y 3 δ 4 = U - 3 y 2 δ 2 + y 3 2 δ 4

E

∂ δ ∂ x = ∂ ∂ x c x 1 2 = 1 2 c x 1 2 x = δ 2 x

Temos que:

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ δ ⋅ ∂ δ ∂ x =   U - 3 y 2 δ 2 + y 3 2 δ 4 ⋅ δ 2 x

∂ u ∂ x = - 3 U δ 4 x y δ 2 - y 3 δ 4

Passo 3

Tendo que:

∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x

Então:

∂ v ∂ y = 3 U δ 4 x y δ 2 - y 3 δ 4

Integrando:

d v = 3 U δ 4 x y δ 2 - y 3 δ 4   d y

∫ d v = 3 U δ 4 x ∫ y δ 2 - y 3 δ 4 d y

v x , y = 3 U δ 4 x y 2 2 δ 2 - y 4 4 δ 4

v x , y = 3 U δ 8 x y δ 2 - 1 2 y δ 4 + f ( x )

Passo 4

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( x ) pode ser qualquer função de y .

Sendo a mais simples f x = 0 :

v x , y = 3 U δ 8 x y δ 2 - 1 2 y δ 4

v U = 3 δ 8 x y δ 2 - 1 2 y δ 4

Passo 5

Determinando a razão em que δ = 5   m m e x = 0,5   m , sabendo que y = δ .

v U = 3 ⋅ 0,005 8 ⋅ 0,5 1 2 - 1 2 ⋅ 1 4 = 1 , 875 x 10 - 3

Resposta

v U = 3 δ 8 x y δ 2 - 1 2 y δ 4

v U = 1 , 875 x 10 - 3

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