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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 2

Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento tridimensional incompressível?

a) u = 2 y 2 + 2 x z ; v = - 2 y z + 6 x 2 y z ; w = 3 x 2 z 2 + x 3 y 4

b) u = x y z t ; v = - x y z t 2 ; w = z 2 ( x t 2 - y t )

c) u = x 2 + 2 y + z 2 ; v = x - 2 y + z ; w = - 2 x z + y 2 + 2 z

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento tridimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Passo 2

Letra a)

Sendo:

u = 2 y 2 + 2 x z ;

v = - 2 y z + 6 x 2 y z ;

w = 3 x 2 z 2 + x 3 y 4 .

Aplicando na equação do Passo 1:

∂ ∂ x 2 y 2 + 2 x z + ∂ ∂ v - 2 y z + 6 x 2 y z + ∂ ∂ z ( 3 x 2 z 2 + x 3 y 4 ) = 0

2 z + - 2 z + 6 x 2 z + ( 6 x 2 z ) = 0

12 x 2 z ≠ 0

Impossível

Passo 3

Letra b)

Sendo:

u = x y z t ;

v = - x y z t 2 ;

w = z 2 ( x t 2 - y t ) .

Aplicando na equação do Passo 1:

∂ ∂ x x y z t + ∂ ∂ v - x y z t 2 + ∂ ∂ z ( z 2 x t 2 - z 2 y t ) = 0

y z t + - x z t 2 + ( 2 x z t 2 - 2 y z t ) = 0

x z t 2 - y z t ≠ 0

Impossível

Passo 4

Letra c)

Sendo:

u = x 2 + 2 y + z 2 ;

v = x - 2 y + z ;

w = - 2 x z + y 2 + 2 z .

Aplicando na equação do Passo 1:

∂ ∂ x x 2 + 2 y + z 2 + ∂ ∂ v x - 2 y + z + ∂ ∂ z ( - 2 x z + y 2 + 2 z ) = 0

2 x + - 2 + ( - 2 x + 2 ) = 0

Possível

Resposta

Impossível

Impossível

Possível

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