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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 10

Uma aproximação grosseira para a componente x da velocidade em uma camada-limite laminar e encompressível é uma variação linear de u = 0 na superfície ( y = 0 ) até a velocidade de corrente livre, U , na borda da camada-limite ( y = δ ) . A equação do perfil é u = U y / δ , em que δ = c x 1 / 2 , sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é v = u y / 4 x . Avalie o valor máximo da razão v / U em um local em que x = 0,5   m e δ = 5   m m .

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Temos que u = U y δ , então:

∂ ∂ x U y δ + ∂ v ∂ y = 0

∂ v ∂ y = - ∂ ∂ x U y δ

Sendo δ = c x 1 2 , temos:

∂ v ∂ y = - ∂ ∂ x U y c x 1 2

Derivando:

∂ v ∂ y = U y 2 c x 3 2

Passo 3

Integrando:

d v = U y 2 c x 3 2   d y

∫ d v = ∫ U y 2 c x 3 2 d y

v x , y = U y 2 4 c x 3 2 + f ( x )

Passo 4

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( x ) pode ser qualquer função de y .

Sendo a mais simples f x = 0 :

v x , y = U y 2 4 c x 3 2

Substituindo u = U y δ :

v x , y = U y 4 c x 1 2 ⋅ y x

v x , y = U y δ ⋅ y 4 x

Temos que:

v x , y = u y 4 x

Passo 5

Avaliando o valor máximo da razão v U em um local em que x = 0,5   m e δ = 5   m m .

v = u y 4 x

v u = y 4 x

v é máximo quando y = δ , então:

v u = δ 4 x

Substituindo os dados:

v u = 0,005 4 ⋅ 0,5 = 0,0025  

Resposta

v x , y = u y 4 x

v u = 0,0025  

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