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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 1

Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?

a) u = 2 x 2 + y 2 - x 2 y ; v = x 3 + x ( y 2 - 4 y )

b) u = 2 x y - x 2 y ; v = 2 x y - y 2 + x 2

c) u = x 2 t + 2 y ; v = x t 2 - y t

d) u = 2 x + 4 y x t ; v = - 3 x + y y t

Passo 1

Fala aí! O enunciado quer saber qual dessas equações representam um escoamento bidimensional incompressível… Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível a equação precisa atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Vamos ver cada uma delas então e conferir!

Passo 2

Letra a)

Sendo:

u = 2 x 2 + y 2 - x 2 y e v = x 3 + x ( y 2 - 4 y ) .

Aplicando na equação do Passo 1, temos:

∂ ∂ x ( 2 x 2 + y 2 - x 2 y ) + ∂ ∂ y ( x 3 + x y 2 - 4 x y ) = 0

4 x - 2 x y + ( 2 x y - 4 x ) = 0

Então ela representa sim um escoamento bidimensional incompressível!

Passo 3

Letra b)

Sendo:

u = 2 x y - x 2 y e v = 2 x y - y 2 + x 2 .

Aplicando na equação do Passo 1:

∂ ∂ x ( 2 x y - x 2 y ) + ∂ ∂ y ( 2 x y - y 2 + x 2 ) = 0

2 y - 2 x y + ( 2 x - 2 y ) = 0

- 2 x y + 2 x ≠ 0

Ops! Ela não representa um escoamento bidimensional incompressível.

Passo 4

Letra c)

Sendo:

u = x 2 t + 2 y e v = x t 2 - y t .

Aplicando na equação do Passo 1:

∂ ∂ x ( x 2 t + 2 y ) + ∂ ∂ y ( x t 2 - y t ) = 0

2 x t + ( - t ) ≠ 0

Ops! Ela também não representa um escoamento bidimensional incompressível.

Passo 5

Letra d)

Sendo:

u = 2 x + 4 y x t e v = - 3 x + y y t .

Aplicando na equação do Passo 1:

∂ ∂ x ( 2 x 2 t + 4 x y t ) + ∂ ∂ y ( - 3 x y t - 3 y 2 t ) = 0

4 x t + 4 y t + - 3 x t - 6 y t = 0

( x t - 2 y t ) ≠ 0

Ops! Ela também não representa um escoamento bidimensional incompressível.

Resposta

  1. Representa um escoamento bidimensional incompressível.
  2. Não representa um escoamento bidimensional incompressível.
  3. Não representa um escoamento bidimensional incompressível.
  4. Não representa um escoamento bidimensional incompressível.
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