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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 1

Um campo de velocidade idealizado é dado pela fórmula

V = 4 t x   î - 2 t 2 y   j ^ + 4 x z   k ^

Esse campo de escoamento é permanente ou não permanente? Ele é bidimensional ou tridimensional? No ponto x ,   y ,   z = ( - 1 ,   1 ,   0 ) , calcule (a) o vetor aceleração e (b) qualquer vetor unitário normal à aceleração.

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

Primeiro de tudo, para nosso campo de velocidade V , temos coordenadas dependentes do tempo!

V x = 4 t x   î

V y = - 2 t 2 y   j ^

Nosso escoamento não é permanente, pois varia com o tempo! E como possui coordenadas não nulas nas 3 direções canônicas, nosso campo de velocidade é tridimensional!

Passo 2

(a)

Bem o vetor aceleração nada mais é que a soma das derivadas parciais do campo de velocidade, assim:

V = 4 t x   î - 2 t 2 y   j ^ + 4 x z   k ^

Agora a derivada para cada coordenada! Da um preguicinha, mas não vamos desanimar!

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

d u d t = 4 x + 4 t x ⋅ 4 t = 4 x + 16 t 2 x

d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z

d v d t = - 4 y t + - 2 t 2 y ⋅ - 2 t 2 = 4 t 4 y - 4 t y

d w d t = ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

d w d t = 4 t x ⋅ 4 z + 4 x z ⋅ 4 x   = 16 t x z + 16 x 2 z

Agora somando todas nossas coordenadas!

d V d t = 4 x + 16 t 2 x î + 4 t 4 y - 4 t y j ^ + 16 t x z + 16 x 2 z k ^

Agora pra terminar essa letra (a) só precisamos substituir com as coordenadas que a questão nos deu!

x ,   y ,   z = ( - 1 ,   1 ,   0 )

d V d t = 4 ⋅ - 1 + 16 t 2 - 1 î + 4 t 4 1 - 4 t 1 j ^ + 16 t - 1 0 + 16 x 2 0 k ^

d V d t = - 4 1 + 4 t 2 î + 4 t 1 - t 3 j ^ + 0   k ^

A primeira metade foi! \o/

Passo 3

(b)

Para matar de vez nossa questão! A questão nos pede um vetor unitário normal a aceleração, bem, como a aceleração está no plano x y qualquer vetor unitário na direção z é normal a aceleração!

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

Não permanente, tridimensional.

a)

d V d t = - 4 1 + 4 t 2 î + 4 t 1 - t 3 j ^ + 0   k ^

b)

Qualquer vetor unitário no eixo z

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