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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 3

Um campo de velocidade bidimensional é dado por

V = x 2 - y 2 + x i - ( 2 x y + y ) j

em unidades arbitrárias. Em x ,   y = ( 1 ,   2 ) , calcule (a) as acelerações a x e a y , (b) o componente de velocidade na direção θ = 40 ° , (c) a direção da velocidade máxima e (d) a direção da aceleração máxima.

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

a)

Nosso campo de velocidade é bidimensional o que facilita mais ou menos nossas contas. haha agora vamos só derivar o campo de velocidade como fizemos na questão anterior!

Como não temos componentes dependentes do tempo:

d u d t = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

d u d t = x 2 - y 2 + x 2 x + 1 + ( - 2 x y - y ) ( - 2 y )

a x = 2 x y 2 + y 2 + 2 x 3 + 3 x 2 + x

d v d t = u δ v ∂ x + v δ v ∂ y

d v d t = x 2 - y 2 + x - 2 y + - 2 x y - y - 2 x - 1

a y = 2 x 2 y + 2 x y + 2 y 3 + y

Agora só substituir para x ,   y = ( 1 ,   2 ) ;

a x = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 2 + 2 2 + 2 ⋅ 1 3 + 3 ⋅ 1 2 + 1

a x = 18   i

a y = 2 ⋅ 1 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 3 + 2

a y = 36   j

Passo 2

b)

Bem vamos calcular o nosso vetor V, para as coordenadas dadas!

V = x 2 - y 2 + x i - ( 2 x y + y ) j

V = 1 2 - 2 2 + 1 i - ( 2 ⋅ 1 ⋅ 2 + 2 ) j

V = - 2 i - 6 j

Agora só precisamos multiplicar nosso vetor velocidade pelo vetor normal do ângulo, que tem a forma genérica de:

n θ = cos ⁡ θ i + sen ⁡ θ j

Assim:

V 40 ° = - 2 i - 6 j ⋅ cos ⁡ 40 ° i + sen ⁡ 40 ° j

V 40 ° ≈ 5,39   u n i d a d e s   d e   v e l o c i d a d e

Passo 3

c)

Agora para matar nossa questão só precisamos encontrar o ângulo da aceleração, máxima, assim encontramos a direção da velocidade máxima, pois ela ocorre no mesmo sentido:

a m á x = 18 2 + 26 2 ≈ 31,62

Calculando o ângulo temos:

θ m á x = arccos ⁡ 18 31,62

θ m á x = 55,3 °

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

a)

a x = 18   i ; a y = 26 j

b)

V 40 ° ≈ 5,39   u n i d a d e s   d e   v e l o c i d a d e

c)

θ m á x = 55,3 °

d)

θ m á x = 55,3 °

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