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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 22

Dado o campo de velocidades do escoamento plano de um fluido ideal incompressível:

v x = 2 x 2 2 - t - 6 x ⋅ f y , t ⋅ ln ⁡ t

v y = - 6 x 2 y   2 - t + 2 y 3 ( 2 - t )

  1. Determinar f ( y , t ) para que o escoamento seja possível
  2. Com f y , t determinada, obter a função Ψ quando t = 1 s
  3. Se possível, determinar a função ϕ

Passo 1

Item A)

A questão nos afirma que o escoamento é incompressível. Então, para este escoamento ser possível vamos precisar garantir que o escoamento seja incompressível! Mas, como fazemos isso?

A equação da continuidade afirma que para um escoamento ser incompressível o divergente de sua velocidade deve ser zero!

d i v   v → = 0

Então, vamos calcular o divergente do nosso escoamento:

d i v   v → = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z = 0

∂ 2 x 2 2 - t - 6 x ⋅ f y , t ⋅ ln ⁡ t ∂ x + ∂ ( - 6 x 2 y   2 - t + 2 y 3 ( 2 - t ) ) ∂ y + ∂ v z ∂ z = 0

4 x 2 - t - 6 f y , t ln ⁡ t - 6 x 2 2 - t + 6 y 2 2 - t = 0

Vamos organizar essa bagunça:

f y , t ⋅ 6 ln ⁡ t = 2 - t 4 x - 6 x 2 + 2 - t ( 6 y 2 )

Repare que f y , t é função apenas de y , então não existe maneira de a função acima ser possível e não podemos garantir que o escoamento seja incompressível. Então, devido as condições impostas pela questão, esse escoamento não é possível!

Como o escoamento não é possível, não podemos resolver os itens b ) e c )

Resposta

  1. O escoamento não é possível.
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