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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 122

Uma fonte e um sorvedouro com intensidades de igual magnitude, q = 3 π   m 2 / s , são colocados sobre o eixo x em x = - a e x = a , respectivamente. Um escoamento uniforme, com velocidade U = 20 m / s no sentido positivo de x , é somado para obter o escoamento sobre um corpo de Rankine. Obtenha a função de corrente, o potencial de velocidade e o campo de velocidade para o escoamento combinado. Determine o valor de ψ = constante para a linha de corrente de estagnação. Localize os pontos de estagnação se a = 0,3   m .

Passo 1

O enunciado começa nos dizendo que uma fonte e um sorvedouro são colocados sobre no mesmo eixo…

Pior que pode sim! Mas a gente consegue resolver...Vamos lá!

Começando com a função de corrente:

ψ = q 2 π θ 1 - q 2 π θ 2 + U y

ψ = q 2 π θ 1 - q 2 π θ 2 + U r s e n θ

Agora vamos para a função de potência:

φ = - q 2 π l n r 1 + q 2 π l n r 2 - U x

φ = - q 2 π l n r 1 + q 2 π l n r 2 - U r c o s θ

Show! Não precisamos separar em q 1 e q 2 porque o enunciado já nos disse que eles possuem a mesma intensidade, ok?

Vamos adiante!

Passo 2

Agora é hora da gente encontrar a função velocidade desse nosso conjunto, partiu!

u = q 2 π r 1 c o s θ 1 - q 2 π r 2 c o s θ 2 + U

v = q 2 π r 1 s e n θ 1 - q 2 π r 2 s e n θ 2

V _ = q 2 π r 1 c o s θ 1 - q 2 π r 2 c o s θ 2 + U i ^ + q 2 π r 1 s e n θ 1 - q 2 π r 2 s e n θ 2 j ^

V _ = q 2 π c o s θ 1 r 1 - c o s θ 2 r 2 + U i ^ + q 2 π s e n θ 1 r 1 - s e n θ 2 r 2 j ^

Show de bolinhas!! Agora vamos localizar os pontos de estagnação...no próximo passo!

Vamos nessa!

Passo 3

Precisamos antes fazer algumas considerações: V _ = 0 ; y = 0 ; θ 1 = θ 2 ; r 2 = r - a e r 1 = r + a

Considerando tudo isso, nós teremos que a componente da velocidade u = 0 . Então podemos escrever da seguinte forma sua equação:

0 = q 2 π r + a c o s θ - q 2 π r - a c o s θ + U

0 = q 2 π 1 r + a - 1 r - a + U

0 = q 2 π r - a - r + a r 2 - a 2 + U

0 = - q 2 a 2 π r 2 - a 2 + U

0 = - q a π r 2 - a 2 + U

- U π r 2 - a 2 = - q a

r 2 - a 2 = q a U π

r 2 = q a U π + a 2

r = q a U π + a 2

r = a q U π a + 1

Substituindo o valor de a = 0,3   m , dado pelo enunciado:

r = 0,3 3 π 20 * π * 0,3 + 1

r = 0,367   m

Beleza! Então o ponto de estagnação em θ = 0 , π é com um raio de r = 0,367   m .

Passo 4

Sendo ψ igual a:

ψ = q 2 π θ 1 - q 2 π θ 2 + U y

O valor constante para a linha corrente de estagnação, com θ 1 = θ 2 e y = 0 :

ψ = q 2 π ( θ 1 - θ 2 ) + U y

ψ = 0

Resposta

função de corrente: ψ = q 2 π θ 1 - q 2 π θ 2 + U r s e n θ

função potencial: φ = - q 2 π l n r 1 + q 2 π l n r 2 - U r c o s θ

Campo de velocidade: V _ = q 2 π c o s θ 1 r 1 - c o s θ 2 r 2 + U i ^ + q 2 π s e n θ 1 r 1 - s e n θ 2 r 2 j ^

Ponto de estagnação: r = 0,367   m

ψ e s t a g n a ç ã o = 0

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