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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 121

Um modelo grosseiro de um tornado é formado pela combinação de um sorvedouro, de intensidade q = 2800   m 2 / s , e um vórtice livre, de intensidade K = 5600   m 2 / s . Obtenha a função de corrente e o potencial de velocidade para este campo de escoamento. Estime o raio além do qual o escoamento pode ser tratado como incompressível. Determine a pressão manométrica nesse raio.

Passo 1

Nossa esse exercício quer muita coisa! Mas nada que a gente não dê conta, beleza?

Então vamos começar! Ele nos pede a função corrente, e o potencial de velocidade, o raio para o escoamento ser compressível e a pressão manométrica desse raio… Vamos por partes!

Primeiro vamos lembrar quais equações definem a função potencial e função de corrente desse tipo de escoamento:

ψ = ψ s o r v e d o u r o + ψ v ó r t i c e = - q 2 π θ - K 2 π l n r

φ = φ s o r v e d o u r o + φ v ó r t i c e = q 2 π l n r - K 2 π θ

E a função velocidade dele:

V _ = V r i r ^ + V θ i θ ^

Sendo:

V r s o r v e d o u r o = - q 2 π r V r v ó r t i c e = 0 V θ s o r v e d o u r o = 0 V θ v ó r t i c e = K 2 π r

Nosso vetor velocidade é então:

V _ = - q 2 π r i r ^ + K 2 π r i θ ^

Passo 2

Vamos então determinar o raio para que o escoamento seja incompressível…

Relaxa! A gente dá conta disso!

V _ = - q 2 π r i r ^ + K 2 π r i θ ^

V = 1 r - q 2 π + K 2 π r

V = 1 r - q 2 π 2 + K 2 π 2 1 2

Beleza até aqui, né? Bom, agora precisamos lembrar que estamos falando de um tornado...Então vamos considerar sua velocidade de aproximadamente V = 102   m / s :

r = 1 2 π - q 2 + K 2 1 2 1 V

r > 1 2 π - 2800 2 + 5600 2 1 2 1 120

r > 8,54   m

Passo 3

Agora vamos encontrar a pressão para esse raio, usando a equação de Bernoulli:

P ∞ ρ + V ∞ 2 2 + g z ∞ = P ρ + V 2 2 + g z

Podemos assumir que: Δ z = 0 :

P ∞ ρ = P ρ + V 2 2

P ∞ - P = ρ V 2 2

P ∞ - P = ρ V 2 2

Usando o ρ e o V do ar, teremos então:

P ∞ - P = 1,225 120 2 2

P ∞ - P = 8,82   K P a

P m = 8,82   K P a

Resposta

ψ = - q 2 π θ - K 2 π l n r

φ = q 2 π l n r - K 2 π θ

V _ = - q 2 π r i r ^ + K 2 π r i θ ^

r > 8,54   m

P m = 8,82   K P a

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