5.43 Um escoamento em onda de um fluido incompressível em uma superfície sólida segue um modelo senoidal. O escoamento é bidimensional com o eixo x normal à superfície e o eixo y ao longo da parede. A componente x do escoamento segue o modelo u = A x   s e n   2 π t T . Determine a componente y do escoamento v e as componentes convectiva e local do vetor aceleração.

Passo 1

Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada e ∂ ρ ∂ t = 0

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é no plano x y , então

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Como u = A x   s e n   2 π t T

∂ A x   s e n   2 π t T ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

A   s e n   2 π t T = - ∂ v ∂ y

Separando as variáveis e integrando em relação a y

d v =   - A   s e n   2 π t T d y

∫ d v = - A ∫   s e n   2 π t T d y

v = - A y   s e n   2 π t T + C

Onde C é uma constante em relação a y .

A mais simples vai ser quando C = 0 .

Então

v = - A y   s e n   2 π t T

Passo 2

Para a aceleração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

A aceleração convectiva

a → p , c o n v e c =   u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z

Como é no plano x y

a → p , c o n v e c =   u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Sendo V → = A x   s e n   2 π t T i ^ - A y   s e n   2 π t T j ^

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x =   A   s e n   2 π t T i ^

∂ V → ∂ y = - A   s e n   2 π t T j ^

Como u = A x   s e n   2 π t T e v = - A y s e n   2 π t T

a → p , c o n v e c = A x   s e n   2 π t T A   s e n   2 π t T i ^ + - A y   s e n   2 π t T - A   s e n   2 π t T j ^

a → p , c o n v e c = A 2 x   s e n   2 π t T 2 i ^ + A 2 y   s e n   2 π t T 2 j ^

A aceleração local

a → p , l o c a l = ∂ V → ∂ t

a → p , l o c a l = 2 A π T x cos ⁡ 2 π t T i ^ - 2 A π T y cos ⁡ 2 π t T   j ^

Resposta

v = - A y   s e n   2 π t T

a → p , c o n v e c = A 2 x   s e n   2 π t T 2 i ^ + A 2 y   s e n   2 π t T 2 j ^

a → p , l o c a l = 2 A π T x cos ⁡ 2 π t T i ^ - 2 A π T y cos ⁡ 2 π t T   j ^

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