Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 43

5.43 Um escoamento em onda de um fluido incompressível em uma superfície sólida segue um modelo senoidal. O escoamento é bidimensional com o eixo x normal à superfície e o eixo y ao longo da parede. A componente x do escoamento segue o modelo u = A x   s e n   2 π t T . Determine a componente y do escoamento v e as componentes convectiva e local do vetor aceleração.

Passo 1

Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada e ∂ ρ ∂ t = 0

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é no plano x y , então

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Como u = A x   s e n   2 π t T

∂ A x   s e n   2 π t T ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

A   s e n   2 π t T = - ∂ v ∂ y

Separando as variáveis e integrando em relação a y

d v =   - A   s e n   2 π t T d y

∫ d v = - A ∫   s e n   2 π t T d y

v = - A y   s e n   2 π t T + C

Onde C é uma constante em relação a y .

A mais simples vai ser quando C = 0 .

Então

v = - A y   s e n   2 π t T

Passo 2

Para a aceleração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

A aceleração convectiva

a → p , c o n v e c =   u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z

Como é no plano x y

a → p , c o n v e c =   u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Sendo V → = A x   s e n   2 π t T i ^ - A y   s e n   2 π t T j ^

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x =   A   s e n   2 π t T i ^

∂ V → ∂ y = - A   s e n   2 π t T j ^

Como u = A x   s e n   2 π t T e v = - A y s e n   2 π t T

a → p , c o n v e c = A x   s e n   2 π t T A   s e n   2 π t T i ^ + - A y   s e n   2 π t T - A   s e n   2 π t T j ^

a → p , c o n v e c = A 2 x   s e n   2 π t T 2 i ^ + A 2 y   s e n   2 π t T 2 j ^

A aceleração local

a → p , l o c a l = ∂ V → ∂ t

a → p , l o c a l = 2 A π T x cos ⁡ 2 π t T i ^ - 2 A π T y cos ⁡ 2 π t T   j ^

Resposta

v = - A y   s e n   2 π t T

a → p , c o n v e c = A 2 x   s e n   2 π t T 2 i ^ + A 2 y   s e n   2 π t T 2 j ^

a → p , l o c a l = 2 A π T x cos ⁡ 2 π t T i ^ - 2 A π T y cos ⁡ 2 π t T   j ^

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5.41 A componente x da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente, incompressível, no plano x y , é u = A x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 , em que A = 2m - 4 s - 1 e x é medido em metros. En
5.44 A componente y da velocidade em um campo de escoamento bidimensional incompressível é dada por v = - A x y , em que v é em m / s , x e y são em metros e A é uma constante dimensional. Não há comp
5.56 Um campo de velocidade bidimensional permanente é dado por V → = A x i ^ - A y j ^ , em que A = 1s - 1 . Mostre que as linhas de corrente para este escoamento são hipérboles retangulares, x y = C
5.48 Considere o escoamento de ar de baixa velocidade entre dois discos paralelos, conforme mostrado. Suponha que o escoamento é incompressível e não viscoso e que a velocidade é puramente radial e un
5.72 Considere o campo de velocidade para escoamento em um “canto”, V → = A x i ^ - A y j ^ , com A = 0,3s - 1 , como no Exemplo 5.8. Avalie a circulação sobre o quadrado unitário do Exemplo 5.8.