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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 56

5.56 Um campo de velocidade bidimensional permanente é dado por V → = A x i ^ - A y j ^ , em que A = 1   s - 1 . Mostre que as linhas de corrente para este escoamento são hipérboles retangulares, x y = C . Obtenha uma expressão geral para a aceleração da partícula neste campo de velocidade. Calcule a aceleração das partículas fluidas nos pontos (1/2,2), (1,1) e (2,1/2), em que x e y são medidos em metros. Trace linhas de corrente que correspondem a C = 0,1 e 2 m² e mostre os vetores aceleração sobre o gráfico das linhas de corrente.

Passo 1

Pela definição de linha de corrente

d y d x = v u

Como u = A x e v = - A y

d y d x = - A y A x

d y d x = - y x

Separando as variáveis e integrando

d y y = - d x x

∫ d y y = - ∫ d x x

ln ⁡ y = - ln ⁡ x + K

Onde KC é constante.

Manipulando matemáticamente

ln ⁡ y + ln ⁡ x = K

ln ⁡ ( y x ) = K

e ln ⁡ y x = e K

x y = e K

Podemos chamar e K = C

x y = C

Como queríamos demonstrar.

Passo 2

Para a aceleração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não depende de z e admitimos regime permanente

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = A i ^

∂ V → ∂ y = - A j ^

Como u = A x e v = - A y

a → p = A x A i ^ + - A y - A j ^

a → p =   A 2 x i ^ + A 2 y j ^

Passo 3

No ponto (1/2,2):

a → p ( 1 / 2,2 ) =   A 2 1 2 i ^ + A 2 2 j ^

Calculando o módulo

a → p ( 1 / 2,2 ) = A 2 1 2 2 + 2 2

a → p ( 2,1 / 2 ) = A 17 2   m / s 2

No ponto (1,1):

a → p 1,1 =   A 2 1 i ^ + A 2 1 j ^

Calculando o módulo

a → p 1,1 = A 2 1 2 + 1 2

a → p 1,1 = A 2   m / s 2

No ponto (2,1/2):

a → p ( 2,1 / 2 ) =   A 2 2 i ^ + A 2 1 2 j ^

Calculando o módulo

a → p ( 2,1 / 2 ) = A 2 2 2 + 1 2 2

a → p ( 2,1 / 2 ) = A 17 2   m / s 2

Resposta

a → p =   A 2 x i ^ + A 2 y j ^

a → p ( 2,1 / 2 ) = A 17 2   m / s 2

a → p 1,1 = A 2   m / s 2

a → p ( 2,1 / 2 ) = A 17 2   m / s 2

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