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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 44

5.44 A componente y da velocidade em um campo de escoamento bidimensional incompressível é dada por v = - A x y , em que v é em m / s , x e y são em metros e A é uma constante dimensional. Não há componente ou variação de velocidade na direçao z . Determine as dimensões da constante A . Determine a mais simples componente x da velocidade neste campo de escoamento. Calcule a aceleração de um apartícula fluida no ponto x , y = 1,2 .

Passo 1

Vamos fazer a análise dimensional

v = A x y  

L t = A L L

A = L - 1 t - 1

Onde L representa dimensão de comprimento e t representa dimensão de tempo.

Passo 2

Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Considerando regime permanente

∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como não há componente ou variação de velocidade na direçao z , então

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Como v = - A x y

∂ u ∂ x + ∂ - A x y ∂ y = 0

A x = ∂ u ∂ x

Separando as variáveis e integrando em relação a y

d u =   A x   d x

∫ d u = A ∫ x   d x

u = A x 2 2 + C

Onde C é uma constante em relação a y .

A mais simples vai ser quando C = 0 .

Então

u = A x 2 2

Passo 3

Sabendo que V → = A x 2 2 i ^ - A x y j ^

Para a celeração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não depende de z e admitimos regime permanente

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = A x   i ^ - A y j →

∂ V → ∂ y = - A x   j ^

Como u = A x 2 2 e v = - A x y

a → p = A x 2 2 A x   i ^ - A y j → + - A x y - A x   j ^

a → p = A 2 x 3 2   i ^ - A 2 x 2 y 2 j → + A 2 x 2 y j ^

a → p = A 2 x 3 2   i ^ + A 2 x 2 y 2 j →

No ponto x , y = 1,2

a → p = A 2 1 3 2   i ^ + A 2 1 2 2 2 j →

a → p = 1 2 A 2   i ^ + A 2 j →

Calculando o módulo

a → p = A 2 1 2 2 + 1 2

a → p = A 1 4 + 1

a → p = A 5 2   m / s 2

Resposta

A = L - 1 t - 1

u = A x 2 2

a → p = A 5 2   m / s 2

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