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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 38

5.38 Considere o campo de escoamento dado por V → = x y 2 i ^ - 1 3 y 3 j ^ + x y k ^ . Determine (a) o número de dimensões do escoamento, (b) se ele é um possível escoamento incompressível e (c) a aceleração de uma partícula fluida no ponto x , y , z = 1,2 , 3 .

Passo 1

(a) Como o campo só tem x e y como variáveis (não é função de z ), então tem duas dimensões.

Passo 2

(b) Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Considerando regime permanente

∂ ρ ∂ t = 0

Ficamos, então, com

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é no plano x y , então

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Substituindo u = x y 2 e v = - 1 3 y 3

∂ x y 2 ∂ x + ∂ - 1 3 y 3 ∂ y = 0

y 2 - 1 3 3 y 2 = 0

y 2 - y 2 = 0

0 = 0

Como satisfaz a equação, então é um possível escoamento incompressível.

Passo 3

(c) Para a aceleração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não depende de z e admitimos regime permanente

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = y 2 i ^ + y k →

∂ V → ∂ y = 2 x y i ^ - y 2 j ^ + x k ^

Como u = x y 2 e v = - 1 3 y 3

a → p = x y 2 y 2 i ^ + y k → + - 1 3 y 3 2 x y i ^ - y 2 j ^ + x k ^

a → p = x y 4 i ^ + x y 3 k ^ - 2 3 x y 4 i ^ + 1 3 y 5 j ^ - 1 3 x y 3 k ^

a → p = 1 3 x y 4 i ^ + 1 3 y 5 j ^ + 2 3 x y 3 k ^

No ponto x , y , z = 1,2 , 3

a → p = 1 3 ( 1 ) 2 4 i ^ + 1 3 2 5 j ^ + 2 3 1 2 3 k ^

a → p = 16 3 i ^ + 32 3 j ^ + 16 3 k ^

Calculando o módulo

a → p = 16 3 2 + 32 3 2 + 16 3 2

a → p = 13,06  

Resposta

(a) duas dimensões

(b) incompressível

(c) a → p = 13,06  

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