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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 5

6.5 Considere o campo de escoamento com velocidade dada por V → = A x 2 - y 2 - 3 B x i ^ + 2 A x y - 3 B y j ^ , em que A = 3,28   s - 1 , B = 1   m / s 2 e as coordenadas são medidas em metros. A massa específica é 1030 kg/m³ e a gravidade age no sentido negativo do eixo y. Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto (x,y)=(1,1).

Passo 1

Para a aceleração da partícula temos:

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Vamos considerar regime permanente ∂ V → ∂ t = 0 e que não haja componente em z w ∂ V → ∂ z = 0 , então:

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais:

∂ V → ∂ x = 2 A x - 3 B i ^ + 2 A y j ^

∂ V → ∂ y = - 2 A y i ^ + 2 A x - 3 B j ^

Sendo u = A x 2 - y 2 - 3 B x e v = 2 A x y - 3 B y :

a → p = A x 2 - y 2 - 3 B x   2 A x - 3 B i ^ + 2 A y j ^ + 2 A x y - 3 B y - 2 A y i ^ + 2 A x - 3 B j ^

a → p = A x 2 - y 2 - 3 B x   2 A x - 3 B + 2 A x y - 3 B y - 2 A y i ^

+ A x 2 - y 2 - 3 B x   2 A y + 2 A x y - 3 B y 2 A x - 3 B j ^

No ponto ( x , y ) = ( 1,1 )

a → p = A 1 2 - 1 2 - 3 B 1   2 A 1 - 3 B + 2 A 1 1 - 3 B 1 - 2 A 1 i ^

+ A 1 2 - 1 2 - 3 B 1   2 A 1 + 2 A 1 1 - 3 B 1 2 A 1 - 3 B j ^

a → p = - 3 B 2 A - 3 B + 2 A - 3 B - 2 A i ^ + ( - 3 B 2 A + 2 A - 3 B 2 A - 3 B j ^

a → p = - 6 A B + 9 B 2 - 4 A 2 + 6 A B i ^ + ( - 6 A B + 4 A 2 - 6 A B - 6 A B + 9 B 2 ) j ^

a → p = 9 B 2 - 4 A 2 i ^ + 4 A 2 - 18 A B + 9 B 2 j ^

Com A = 3,28   s - 1 , B = 1   m / s 2

a → p = 9 1 2 - 4 3,28 2 i ^ + 4 3,28 2 - 18 3,28 1 + 9 1 2 j ^

a → p = - 34,03 i ^ - 7,01 j ^

Passo 2

Para o gradiente de pressão temos:

Na direção x:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente x da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(0,3;0,3), então:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ a p , x

Como g x = 0 e ρ é conhecido ( 1,030   k g / m 3 )

∂ p ∂ x = - 1,030 k g m 3 - 34,03 m s 2 = 35,05 k g m 3 m s 2  

Sabemos, (ou fingimos que sabemo só pra fazer a mudança de unidade e chegamos em Pascal)

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ x = 35,05 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ x = 35,05 P a m

Passo 3

Na direção y:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente y da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(0,3;0,3), então:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ a p , y

Como g y = - g = - 9,81   m / s 2 e ρ é conhecido ( ρ = 1,030   k g / m 3 )

∂ p ∂ y = 1,030 k g m 3 - 9,81 m s 2 - 1,030 k g m 3 - 7,01 m s 2 = - 2,88 k g m 3 m s 2  

Como,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ y = - 2,88 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ y = - 2,88 P a m

Ficando, o gradiente de pressão:

∇ p = 35,05 i ^ - 2,88 j ^ P a m  

Resposta

a → p = - 34,03 i ^ - 7,01 j ^

∇ p = 35,05 i ^ - 2,88 j ^ P a m  

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