Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 55

5.55 Expanda ( V → ⋅ ∇ ) V → em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida. Verifique os resultados dados nas Eqs. 5.11.

Passo 1

O operador ∇ , em coordenadas retangulares, é definido como

∇ = ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^

E o vetor velocidade definimos como

V → = u i ^ + v j ^ + w k ^

Vamos fazer primeiro o produto interno desses dois vetores

V → ⋅ ∇ = ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^ ⋅ u i ^ + v j ^ + w k ^

V → ⋅ ∇ = u ∂ ∂ x + v ∂ ∂ y + w ∂ ∂ z

Prestando atenção que o produto escalar dá origem a um escalar, então multiplicando ele pelo vetor velocidade, ficamos com

V → ⋅ ∇ V → = u ∂ ∂ x + v ∂ ∂ y + w ∂ ∂ z u i ^ + v j ^ + w k ^

Fazendo a distributiva

V → ⋅ ∇ V → =   u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z i ^ + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z j ^ + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z k ^

Passo 2

As componentes da aceleração convectivas são

a x , c o n v =   u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

a y , c o n v =   u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z

a z , c o n v = u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

Sendo assim, está verificado e está correto.

Resposta

V → ⋅ ∇ V → =   u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z i ^ + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z j ^ + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z k ^

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5.46 Um líquido incompressível, com viscosidade desprezível, escoa em regeme permanente no interior de um tubo horizontal de diâmetro constante. Em uma seção porosa de comprimento L = 0,3m , líguido é
5.43 Um escoamento em onda de um fluido incompressível em uma superfície sólida segue um modelo senoidal. O escoamento é bidimensional com o eixo x normal à superfície e o eixo y ao longo da parede. A
5.39 Considere o campo de velocidade no plano x y dado por V → = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 i ^ + A 4 x y 3 - 4 x 3 y j ^ em que A = 0,25m - 3 s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Este é um poss
5.38 Considere o campo de escoamento dado por V → = x y 2 i ^ - 1 3 y 3 j ^ + x y k ^ . Determine (a) o número de dimensões do escoamento, (b) se ele é um possível escoamento incompressível e (c) a ac
5.58 Um campo de velocidade é dado por V → = A x - B i ^ + C y j ^ + D t k ^ , em que A = 2s - 1 , B = 4ms - 1 , D = 5ms - 2 e as coordenadas são medidas em metros. Determine o valor próprio para C se