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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 86

A componente de velocidade na direção da corrente da camada limite sobre placa plana permanente, incompressível, laminar e com espessura δ é aproximada pelo perfil de onda senoidal do Problema 10 - 85 . Gere expressões para a espessura de deslocamento e espessura do momento em função de δ , com base nessa aproximação da onda senoidal. Compare os valores aproximados de δ * / δ e θ / δ com os valores de δ * / δ e θ / δ obtidos pela solução de Blasius.

Passo 1

Lembrando como é a cara da aproximação senoidal:

u y ≈ U   s e n π y 2 δ para y < δ , e u = U para y ≪ δ

Agora é só repetir o que foi feito na questão 83 , onde sabemos que a definição da espessura de deslocamento δ * é dada por:

δ * = ∫ 0 ∞ 1 - u U d y

Onde u U = s e n π y 2 δ em um intervalo de 0 < y < δ , então:

δ * = ∫ 0 δ 1 - s e n π y 2 δ d y

Com ∫ s e n n y d y = - c o s ⁡ ( n y ) n   , então:

δ * = y + 2 δ π cos ⁡ π y 2 δ 0 δ

Aplicando o intervalo nós temos:

δ * = δ + 2 δ π cos ⁡ π 2 - c o s ⁡ ( 0 )

δ * = δ - 2 δ π = δ 1 - 2 π

δ * = 0.363 δ

Passo 2

Agora a espessura do momento (que está na página 461 da primeira edição) é dada por:

θ = ∫ 0 ∞ u U 1 - u U d y

Então substituindo u U = s e n π y 2 δ , nós temos:

θ = ∫ 0 ∞ s e n π y 2 δ - s e n 2 π y 2 δ

Agora temos a integral de s e n 2 x que pode ser interpretada como a união das duas equações trigonométricas abaixo:

cos 2 ⁡ z + s e n 2 z = 1

cos 2 ⁡ z - s e n 2 z = cos ⁡ 2 z

Com z sendo uma variável qualquer.

Subtraindo a primeira equação da segunda:

2 s e n 2 z = 1 - cos ⁡ 2 z

s e n 2 z = 1 2 - cos ⁡ 2 z 2

Então a nossa integral fica , com z = π y 2 δ :

θ = ∫ 0 ∞ s e n π y 2 δ - 1 2 + cos ⁡ 2 ⋅ π y 2 δ 2 d y

Cuidado com o sinal pois temos - s e n 2

Então a nossa integral fica

θ = - 2 δ π cos ⁡ π y 2 δ - y 2 + 1 2 ⋅ δ π s e n π y δ 0 δ

Aplicando a substituição:

θ = - 2 δ π cos ⁡ π 2 - δ 2 + 1 2 ⋅ δ π s e n π 2 + 2 δ π cos ⁡ 0 + δ 2 π s e n ( π )

θ = δ - 1 2 + 2 π

Ou:

θ = 0 . 137 δ

Passo 3

Agora vamos analisar os erros:

Sabemos que pela solução de Blausius as relações para escoamento laminar que:

θ x = 0.664 R e x ;

δ * x = 1.72 R e x

δ x = 4.91 R e x

Isso pode ser visto na tabela 10 - 4 na página 463 da primeira edição desse livro.

Dividindo a segunda equação pela terceira nós iremos obter:

δ * δ = 1.72 4.91 = 0.35

E agora dividindo a primeira equação pela terceira:

θ δ = 0.664 4.91 = 0.135

Essas relações para a solução de Blausius (que é a mais certeira), agora vendo o erro se comparada com o modelo senoidal nós iremos obter:

e r r o δ * δ = | 0.363 - 0.35 | 0.35 = 3.7 %

e r r o θ δ = | 0.137 - 0.135 | 0.135 = 1.5 %

O que são erros bem menores do que o da aproximação linear da questão 83.

Resposta

δ * δ = 0.363 ; e r r o = 3.7 %

θ δ = 0.137 ; e r r o = 1.5 %

Ver Outros Exercícios desse livro

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