Considere um leito compactado de esferas, cada uma com diâmetro D = 2   m m , a uma temperatura inicial T i = 95 ° C . Água fria a T w = 5 ° C é despejada no leito em t = 0 , produzindo um grande coeficiente de convecção em torno de cada esfera. Determine a taxa (em ° C / s ) na qual uma esfera individual próxima à superfície superior do leito é resfriada em t = 0,1 , 0,25 e 1   s . As esferas têm propriedades termofísicas semelhantes às do Pirex.

Passo 1

E aí, bora resolver essa questão juntos?

Fica de olho!

Começamos o nosso problema expondo as propriedades termofísicas do Pirex obtidas na Tabela A.3:

ρ = 2230   k g / m 3

c p = 753   J / k g ⋅ K

h = 600   W / m 2 ⋅ K

Bora pros cálculos!

Passo 2

Partindo da equação de transferência de calor transiente:

T - T w T i - T w = e - h A ρ V c p t

Diferenciando ambos os lados em função do tempo:

d T d t = T i - T w ⋅ h A ρ V c p ⋅ e - h A ρ V c p t  

Onde:

V A = 4 3 π r 3 4 π r 2 = r 3

Assim:

h A ρ V c p = 3 h ρ r c p = 3 ⋅ 600 2230 ⋅ 0,001 ⋅ 753 = 1,071

Substituindo os dados na nossa equação:

d T d t = 95 - 5 ⋅ 1,071 ⋅ e - 1,071 ⋅ t

d T d t = 96,39 ⋅ e - 1,071 ⋅ t

Passo 3

Substituindo t = 0,1 , 0,25 e 1   s :

(i) t = 0,1   s :

d T d t = 96,39 ⋅ e - 1,071 ⋅ 0,1

d T d t = 86,6   ° C / s

(ii) t = 0 , 25   s :

d T d t = 96,39 ⋅ e - 1,071 ⋅ 0 , 25

d T d t = 73,7   ° C / s

(iii) t = 1   s :

d T d t = 96,39 ⋅ e - 1,071 ⋅ 1

d T d t = 33,0   ° C / s

E finalizamos a nossa questão!

Até a próxima!

Resposta

i   d T d t = 86,6   ° C / s

i i   d T d t = 73,7   ° C / s

i i i   d T d t = 33,0   ° C / s

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