99 – Um tubo fino de cobre de 20 mm de diâmetro, 1 m de comprimento, contém um material que gera energia térmica a uma taxa volumétrica de . A haste é resfriada por ar na pressão atmosférica em um escoamento cruzado com velocidade de 2 m/s. É proposto uma redução na temperatura do material por pulverização através de um revestimento fino e poroso de espessura t=2mm colocado no exterior do tubo de cobre. O revestimento é então saturado com água liquida, levando a um resfriamento evaporativo na superfície exposta do revestimento. A condutividade térmica do revestimento de água saturada é kC=3,5 W/m.K. Determine a temperatura do tubo de cobre com e sem revestimento. As condições ambientes são caracterizadas por uma temperatura de 25°C e uma umidade relativa de 45%.

Vamos aplicar um balanço de energia no tubo de cobre, sem o revestimento:

Lembrando que a expressão geral para um balanço de energia é a seguinte

Onde,

-, é a taxa de energia que entra no sistema, no caso o sistema é a lagoa;

-, é a taxa de energia que sai do sistema;

-, é a taxa de energia gerada no sistema;

-, é a quantidade de energia acumulada no sistema, que varia com o tempo.

Considerando uma condição de estado estacionário (sem variação com o tempo), assim

Não há energia que entra no sistema, composto pelo tubo de cobre

A energia que sai é referente ao calor transferido por convecção, qconv, do tubo de cobre com o ar atmosférico

E a energia gerada é referente a taxa volumétrica de energia térmica gerada dentro do tubo de cobre

Assim, o balanço de energia no tubo de cobre, sem revestimento é:

Onde, V é o volume do cilindro que é dado por

Agora um balanço de energia em um sistema composto pelo tubo de cobre e o revestimento:

Analogamente, pegando a Eq1

Ainda em condição de estado estacionário (sem variação com o tempo)

Não há energia que entra no sistema

A energia que sai é referente ao calor transferido por condução, qcond, através do revestimento, também uma energia que é transferida para a água sobre o revestimento, que fará esta evaporar, qevap, e também um calor perdido por convecção, qconv, por causa do ar atmosférico, assim

E a energia gerada é referente a taxa volumétrica de energia térmica gerada dentro do tubo de cobre

Assim, o balanço de energia no tubo de cobre com revestimento é:

Vamos agora equacionar os termos da Eq2 e Eq3

Vamos começar com o primeiro caso, da Eq2:

Para determinarmos qconv podemos usar a seguinte expressão

Onde,

-h é o coeficiente de transferência de calor;

-AS é a área superficial de troca térmica;

-T é a temperatura do tubo de cobre, que queremos encontrar;

-, é a temperatura do ar.

A área de troca térmica é a área superficial do cilindro que é

Onde,

-D é o diâmetro do cilindro;

-L é o comprimento do cilindro.

O coeficiente convectivo, h, nós podemos determinar usando a relação com o nº de Nusselt, Nu

Onde, k á condutividade térmica do ar.

Isolando h

Substituindo essas relações

Para determinarmos o valor de Nu, você pode lembrar que existem várias correlações empíricas o seu cálculo. Mas, você deve atentar que não é qualquer correlação empírica que é aplicada para este caso que se trata de fluxo cruzado em um cilindro. Assim temos que pegar uma correlação apropriada para este caso.

Uma correlação aplicada para fluxo cruzado em cilindros é a correlação de Hilpert que é mais prática e simples do que outras, então vamos usa-la. A correlação de Hilpert é a seguinte:

Onde,

-C e m são constantes encontradas em tabelas, e dependem do valor de Reynolds;

-Re e Pr são o número de Reynolds e número de Prandtl, respectivamente.

Vamos achar Reynolds (Re) e Prandtl (Pr):

A equação de Reynolds é a seguinte:

Onde,

-D é o diâmetro do cilindro;

-V é a velocidade do fluido;

-ν é a viscosidade cinemática do fluido.

Vamos encontrar a viscosidade cinemática pela Tabela A.4

A T=25ºC=298K:

Aplicando os valores

Pela mesma Tabela A.4 achamos o número de Prandtl, Pr, e também o valor de k:

As constantes m e C, podem ser encontradas na Tabela 7.2 do Incropera, cap. 7, pegando o valor de Re encontrado.

Para Re=2548, os valores de C e m que estão na faixa de Re para esse valor é:

Agora calculando Nusselt

Pegando a Eq4 e a Eq2

Chegamos que

Isolando T

Onde, para o volume V

Assim,

Aplicando os valores

Vamos agora para o segundo caso:

A expressão que chegamos pelo balanço de energia foi

Para qconv fazendo de forma análoga ao primeiro caso chegaremos na expressão

Onde, DRev é diâmetro do tubo com revestimento que é

O novo valor de Nusselt é

Precisamos do novo valor de Reynolds

Os valores de C e m são:

Calculando Nusselt

Para qcond, podemos usar a Lei de Fourier, em que chegaremos na seguinte expressão

E para qevap que é a energia da água perdida por evaporação está relacionada diretamente com a entalpia de vaporização da água, Hvap, e também com o fluxo de massa que a água libera na evaporação. Dessa forma, a expressão para a taxa de evaporação é:

Onde,

-n”agua é o fluxo mássico de água evaporada;

-Hvap é a entalpia de vaporização da água, um dado tabelado que depende da temperatura

Onde,

Assim,

O fluxo mássico é dado pela seguinte expressão

Onde,

-hm é o coeficiente de transferência de massa;

-ρágua,Sat é a densidade do vapor de água saturada na temperatura do processo;

-, é a densidade da água saturada no ar.

As densidades podem ser determinadas em tabelas da água saturada pegando a temperatura de 25ºC, na qual para a densidade da água no ar temos que ela depende da umidade relativa da seguinte forma:

Onde,

-φ é a umidade relativa.

Assim,

Agora vamos determinar uma forma de encontrar o coeficiente de transferência de massa. Os processos de transferência de massa e transferência de calor são muito similares, assim, você pode lembrar que podemos usar as mesmas correlações para o cálculo dos parâmetros da transferência de massa. Analogamente, a equação usada para o coeficiente de transferência de calor foi

Para o coeficiente de transferência de massa, basta trocarmos o Nusselt (Nu) por Sherwood (Sh) e o Prandtl (Pr) por Schmidt (Sc), assim

Lembrando que

Onde, DAB é o coeficiente difusivo de transferência de massa. Assim,

Pegando a expressão de hm e substituindo na equação do fluxo

Agora vamos pegar essa e substituir na eq. de qevap

Pegando os dados para a água saturada, a T=25ºC=298 K, Tabela A.6:

-Dado para o coeficiente difusivo DAB, Tabela A.9, temperatura 20ºC=293K:

Aplicando os valores

Pegando a expressão do balanço de energia

Substituindo as relações de qcond e qconv

Sendo V o volume do cilindro:

Isolando T

Aplicando os valores