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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 48

Um agitador é usado para misturar produtos químicos em um tanque grande. A potencia de eixo W ˙ fornecida às laminas do agitador é uma função do diâmetro do agitador D, da densidade do líquido ρ, da viscosidade do líquido μ e da velocidade angular w das lâminas do agitador. Use o método das variáveis repetidas para gerar uma relação adimensional entre esses parâmetros. Mostre todo o seu trabalho e verifique se indeificou seus grupos II, modificando-os se necessário.

Passo 1

O problema diz que temos 5 parâmetros, certo? Portanto n =5

Então, vamos primeiro escrever esses parâmetros!!!

W ˙ = f ( w , ρ ,   μ ,   D )

Passo 2

Vamos agora escrever as dimensões primárias pra cada variável!!

W ˙ = M L 2 t - 3

w = t - 1

ρ = M L - 3

μ = m L - 1 t - 1

D = L

Passo 3

Agora a gente vai ter que pegar o número de varíaveis e diminuir pela quantidade de dimensões primárias que usamos, ou seja, MLt, então temos 3!!

Vamos chamar de k essa diferença e j a quantidade de dimensões primárias, se liga!

k = n - j = 5 - 3 = 2

Esse número k diz o QUANTOS NÚMEROS ADIMENSIONAIS TEREMOS/ESPERAMOS TER!

Passo 4

Precisamos agora escolher três parâmetros que juntos, precisam formar uma combinação das 3 dimensões usadas.

Vamos escolher aqui: w ,   ρ   e   D

Passo 5

Agora se liga, vamos encontrar os grupos π ' s (grupos pi) e pra isso queremos saber quais são seus expoentes. Olha como a gente vai fazer isso:

π 1 = W ˙ w a ρ b D c

Agora a gente vai abrir esses parâmetros com suas dimensões básicas lá do passo 2.

π 1 = ( M L 2 t - 3 ) ( t - 1 ) M L - 3 b L c

Vamos fazer agora um sisteminha com essas variáveis de acordo com seus expoentes e igualando a zero SEMPRE!

M → 1 + b = 0 → b = - 1

t → - 3 - a = 0 → a = - 3

L → 2 - 3 b + c = 0 → c = - 5

Dessa forma, π 1 = W ˙ ρ D 5 w 3 = N p → N ú m e r o   d e   p o t ê n c i a

Vamos fazer a mesma coisa pra encontrar o grupo π 2 com as 4 variáveis agora que descrevem h!

π 2 = μ w a ρ b D c

Agora a gente vai abrir esses parâmetros com suas dimensões básicas lá do passo 2.

π 2 = ( m L - 1 t - 1 ) t - 1 a M L - 3 b L C

Vamos fazer agora um sisteminha com essas variáveis de acordo com seus expoentes e igualando a zero SEMPRE!

M → 1 + b = 0 → b = - 1

t →   - 1 - a = 0 → a = - 1

L → - 1 - 3 b + c = 0 → c = - 2

Dessa forma, π 2 = μ ρ D 2 w

Olha a mutreta que a gente pode fazer aqui: Sabendo que Dw é a velocidade de rotação, a gente consegue visualizar um número de Reynold aqui!

π 2 = ρ D 2 w μ = ρ D w D μ = R e

Assim, podemos finalizar dizendo que:

N p = f ( R e )

Resposta

N p = f ( R e )

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