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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 32

No escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular, a velocidade em R / 2 (a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6   m / s . Determine a velocidade no centro do tubo.

Passo 1

A questão quer saber quanto vale a velocidade u 0 do escoamento laminar no centro do tubo. Para calcularmos esse valor, o enunciado nos fala quanto vale a velocidade do fluido em pontos que estão a R / 2 do centro do tubo u R 2 . R é o raio interno do tubo. O dado fornecido pela questão está ilustrado na figura abaixo.

r é a coordenada radial que mede a distância perpendicular entre um ponto do fluido e o eixo central do tubo. V m é d é a velocidade média do escoamento.

Para saber quanto vale u 0 temos que lembrar da equação do perfil de velocidade u de um escoamento laminar completamente desenvolvido em função da velocidade média V m é d (equação 8-17 do livro).

u r = 2 ⋅ V m é d ⋅ 1 - r 2 R 2

u 0 é a velocidade do fluido para r = 0 . Logo:

u r = 2 ⋅ V m é d ⋅ 1 - r 2 R 2     ⟹     u 0 = 2 ⋅ V m é d ⋅ 1 - 0 2 R 2     ⟹     u 0 = 2 ⋅ V m é d

No entanto, vemos que para calcular esse valor, precisamos descobrir o valor de V m é d . No próximo passo vamos aprender a fazer isso.

Passo 2

Podemos calcular V m é d usando essa fórmula do perfil de velocidade u junto com a velocidade que o enunciado informou u R 2 = 6   m / s .

u r = 2 ⋅ V m é d ⋅ 1 - r 2 R 2     ⟹     u R 2 = 2 ⋅ V m é d ⋅ 1 - R / 2 2 R 2

u R 2 = 1,5 ⋅ V m é d       ⟹     6 = 1,5 ⋅ V m é d       ⟹       V m é d = 4   m / s

Passo 3

Substituindo o valor de V m é d na fórmula de u 0 , achamos:

u 0 = 2 ⋅ V m é d       ⟹       u 0 = 2 ⋅ 4       ⟹       u 0 = 8   m / s

Resposta

u 0 = 8   m / s

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