Água entra em um canal largo e plano, de altura 2h, com uma velocidade de 2,5m / s . Na saída do canal, a distribuição de velocidades é dada por u u m á x = 1 - y h 2 á em que y é medido a partir da linha de centro do canal. Determine a velocidade, u m á x á , na linha de centro na saída do canal.

Enunciado

Para resolver essa questão, precisamos aplicar a equação de continuidade sobre um volume de controle.

Aqui, é a densidade, é o volume, é a velocidade e é a mudança na área da seção transversal.

Como o fluxo no canal é constante, o termo derivado do tempo na equação de continuidade é igual a zero. Assim ficamos da seguinte forma:

Como a densidade é constante, nós podemos tirar ela da equação, visto que posteriormente ela irá se cancelar. Assim ficamos da seguinte maneira:

Para esse volume de controle, podemos escrever da seguinte forma:

Na entrada, a velocidade é uniforme e e tem direções opostas, de modo que a equação pode ser dada por:

Na saída, nós podemos escrever a velocidade em função de da seguinte forma:

Onde é a distribuição de velocidade na saída do canal.

Podemos também, escrever a área da seção transversal como:

Com a equação da continuidade

Podemos substituir os valores dados no enunciado e os que encontramos da seguinte maneira:

Assim temos:

Podemos agora resolver a equação acima da seguinte forma:

Podemos encontrar integrando de até .

Substituindo o resultado da integração na equação de encontrada no passo 5 temos:

Portanto a velocidade da linha central de saída é .