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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 21

Um reservatório cilíndrico de exploração de água possui um diâmetro interno igual a 3 m, e uma altura de 3 m. Existe somente uma entrada com diâmetro igual a 10 cm, uma saída com diâmetro de 8 cm, e um dreno. Inicialmente o tanque está vazio quando a bomba de entrada é acionada, produzindo uma velocidade média na entrada de 5 m/s. Quando o nível do tanque atinge 0,7 m, a bomba de saída é acionada, causando uma vazão para fora do tanque na saída; a velocidade média na saída é 3 m/s. Quando o nível de água atinge 2 m, o dreno é aberto de tal forma que o nível permanece em 2 m. Determine (a) o tempo no qual a bomba de saída é acionada, (b) o tempo no qual o dreno é aberto e (c) a vazão no dreno ( m 3 / m i n ) .

Passo 1

Neste problema temos a entrada e saída de um tanque em forma cilíndrica, devemos encontrar o tempo em que a bomba de saída está ligada, o tempo em que o dreno é aberto e a vazão no dreno.

Para isso utilizaremos a seguinte equação:

∂ ∂ t M C V + ∑ C S ρ V → A → = 0

Como todo problema na mecânica dos fluidos, fazemos algumas considerações: fluxo uniforme e incompressível.

Passo 2

Após ligar a bomba de entrada, temos:

∂ ∂ t M C V + ∑ C S ρ V → A → = ∂ ∂ t M t a n q u e - ρ V 0 A 0 = 0

Assim,

∂ ∂ t M t a n q u e = ρ A t a n q u e d h d t =   ρ V 0 A 0

Essa derivada de d h d t , é referente ao nível de agua no tanque, logo,

d h d t = V 0 A 0 A t a n q u e

Relacionamos com o tempo para atingir a saída:

t s = h s d h d t = h s V 0 D t a n q u e D 0 2

t s = 0,7 5   m / s × 3 0,1 2 = 126   s  

Passo 3

Após a saída da bomba estar ligada, temos:

∂ ∂ t M C V + ∑ C S ρ V → A → = ∂ ∂ t M t a n q u e - ρ V 0 A 0 +   ρ V s A s = 0

Assim,

A t a n q u e d h d t = V 0 A 0 -   V s A s

Logo,

d h d t = V 0 A 0 A t a n q u e - V s A s A t a n q u e = V 0 D 0 D t a n q u e 2 - V s D s D t a n q u e 2

Então, o tempo no qual o dreno é aberto é:

t d r e n o = t s + h d r e n o - h s d h d t

t d r e n o = t s + h d r e n o - h s V 0 D 0 D t a n q u e 2 - V s D s D t a n q u e 2

t d r e n o = 126   s + 2 - 0,7 5 × 0,1 3 2 - 3 × 0,08 3 2

t d r e n o = 506   s

Passo 4

Para o calculo da vazão, temos que é igual à entrada líquida, o nível no tanque é constante. Logo:

Q d r e n o = V 0 π D 0 2 4 - V s π D s 2 4

Q d r e n o = 5 × π 0,1   m 2 4 - 3 × π 0,08   m 2 4

Q d r e n o = 0,0242 m 3 s

Como ele pediu a vazão em m 3 / m i n , vamos fazer a conversão:

Q d r e n o = 0,0242 m 3 s 60   s 1 m i n = 1,452   m 3 / m i n

Prontinho!!

Resposta

(a) t s = 126   s  

(b) t d r e n o = 506   s

(c) Q d r e n o = 1,452   m 3 / m i n

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