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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 24

Água entra pelo fundo do cone da figura abaixo com velocidade média uniformemente crescente tal que V = K t . Se d é muito pequeno, obtenha uma fórmula analítica para a elevação do nível d’água h ( t ) com a condição de h 0 = 0 . Considere escoamento incompressível.

Passo 1

Vamos aplicar um volume de controle no nosso cone e fazer uma relação com o balanço de massa, show? Note que pelo balanço temos que:

m ˙ e - m ˙ s = m ˙ a c u m u l a d o = d d t ∫ ρ d v

Não temos saída de fluido, então só temos entrada e o acúmulo, correto?

d d t ∫ ρ d v - m ˙ e = 0

Precisamos calcular então o volume do cone, certo?

v = π 3 r 2 h

Passo 2

Agora vamos calcular o raio do cone!!!

Vamos usar a trigonometria para nos ajudar, beleza?

t a n θ = r h → r = h t a n θ

Agora bora dar uma olhada no nosso balanço de massa?

d d t ∫ ρ d v - m ˙ e = 0 → ρ v = m ˙ e

ρ π 3 r 2 h = m ˙ e

Onde m ˙ e = ρ A V = ρ π d 2 4 K t

Passo 3

Agora meu camarada, é só você literalmente substituir tudo o que encontramos nos passos anteriores dentro do nosso balanço de massa!

ρ π 3 r 2 h = ρ π d 2 4 K t → h t = 3 8 K t 2 d 2 cot 2 ⁡ θ 1 3

Resposta

h t = 3 8 K t 2 d 2 cot 2 ⁡ θ 1 3

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