Um tanque retangular, usado para fornecer água em uma experiência de número de Reynolds, tem profundidade de 230   m m , largura W = 150   m m e comprimento L = 230   m m . O número de Reynolds da água do tubo de saída (diâmetro interno D = 6,35   m m ) é R e = 2000 , quando o tanque está metade cheio. A válvula de admissão de água para o tanque está fechada. Determine a taxa de variação do nível da água nesse instante.

Passo 1

Primeiro, temos que encontrar as propriedades da água na temperatura de 20   ℃ . Temos que a viscosidade cinemática da água a 20   ℃ é v =   m 2 / s .

A equação para o número de Reynolds é:

R e = D V 0 v

Podemos reescrever explicitando a velocidade:

V 0 = v R e D

Aqui, o número de Reynolds é  R e , o diâmetro interno é  D e a velocidade é  V 0 . Com os valores fornecidos no enunciado, podemos encontra a velocidade substituindo na equação.

V 0 = 1 × 10 - 6   m 2 / s × 2000 6,35 × 10 - 3   m

V 0 = 0,314   m / s

Passo 2

Podemos fazer um diagrama esquemático do volume de controle da seguinte maneira:

Onde a parte pontilhada representa o volume de controle.

Passo 3

Podemos aplicar a equação da conservação de massa para o volume de controle. Usando a equação básica, temos:

∂ ∂ t ∫ C V   ρ d ∀ + ∫ C S   ρ V → ⋅ d A → = 0

Temos que é o volume total do volume de controle ou seja, W L h + π D 2 4 L . Temos também que A é a área total da superfície de controle, ou seja π D 2 4 . Assim, a resolução da integral fica:

∂ ∂ t ρ W L h + ρ π D 2 4 L 1 + ρ V 0 π D 2 4 = 0

Como a densidade é constante, ela pode ser retirada da equação.

ρ ∂ ∂ t W L h + π D 2 4 L 1 + ρ V 0 π D 2 4 = 0

∂ ∂ t W L h + π D 2 4 L 1 + V 0 π D 2 4 = 0

Passo 4

Resolvemos agora a derivada parcial.

∂ ∂ t W L h + π D 2 4 × ∂ ∂ t ( L 1 ) + V 0 π D 2 4 = 0

Como o comprimento é constante, sua derivada é zero.

∂ ∂ t W L h + π D 2 4 × 0 + V 0 π D 2 4 = 0

∂ ∂ t W L h + V 0 π D 2 4 = 0

W L ∂ h ∂ t + V 0 π D 2 4 = 0

W L ∂ h ∂ t = - V 0 π D 2 4

∂ h ∂ t = - V 0 π D 2 4 W L

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação do nível da água, basta substituir os dados fornecidos no enunciado na equação encontrado no passo 4. Assim temos:

V 0 = 0,314   m / s

D = 6,35   m m = 0,00635   m

W = 150   m m = 0,150   m

L = 230   m m = 0,230   m

Substituindo:

∂ h ∂ t = - π 0,314   m / s   0,00635   m 2 4 0,150   m 0,230   m

∂ h ∂ t = - π 0,314   m / s   0,00635   m 2 4 0,150   m 0,230   m

∂ h ∂ t = - 2 , 88 × 10 - 4   m / s  

∂ h ∂ t = - 0 , 288   m m / s  

Portanto, a taxa de alteração do nível da água no tanque é  - 0,288   m m / s .

Resposta

∂ h ∂ t = - 0,288   m m / s  

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