Enunciado

Água escoa em regime permanente através de um cotovelo redutor, conforme mostrado. O cotovelo é liso e curto e o escoamento acelera, de modo que o efeito do atrito é pequeno. A vazão em volume é Q = 2,5   L / s . O cotovelo está em um plano horizontal. Estime a pressão manométrica na seção 1. Calcule a componente x da força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo de suprimento de água.

Passo 1

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade, como temos regime permanente e escoamento uniforme, tudo o que entra no cotovelo tem que sair na sua seção de descarga, dessa forma, as vazões são iguais nos pontos de entrada (1) e saída (2), de forma que podemos escrever:

Q 1 = Q 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2 → v 1 π D 1 2 4 = v 2 π D 2 2 4 → v 1 = v 2 D 2 D 1 2

E, podemos calcular a velocidade através da vazão dada, só precisamos convertê-la para m³/s:

Q = 2,5 L s 1   m 3 1000   L → Q = 2,5 . 10 - 3   m 3 / s

Então, a velocidade em 2 será:

Q = v 2 A 2 → v 2 = Q A 2 = Q π D 2 2 4 = 2,5 . 10 - 3 π 0,025 2 4 → v 2 = 5,09   m / s

E a velocidade 1 será:

v 1 = 5,09 0,025 0,045 2 → v 1 = 1,57   m / s

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a entrada do cotovelo (1) e sua saída (2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse exercício podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 , e como a seção 2 descarrega para a atmosfera, temos p 2 = p a t m = 0 e dessa forma a pressão p 1 obtida será a pressão manométrica. Substituindo os valores conhecidos, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 = v 2 2 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

p 1 999 + 1,57 2 2 = 5,09 2 2 → p 1 = 11709,9   P a

Passo 3

Agora vamos aplicar a equação 4.18a de equilíbrio de momento na direção x , que é dada por:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

No nosso caso, estamos com um regime permanente, então podemos desprezar a primeira integral com a derivada no tempo, vamos desprezar também a ação da força de campo na direção x , de modo que F B x = 0 , e como estamos trabalhando com pressão manométrica e na seção 2 temos p a t m , não teremos força de superfície em 2. Então a equação se torna:

R x + p 1 A 1 = u 1 - ρ v 1 A 1 + u 2 ( ρ v 2 A 2 )

Devido a continuidade, sabemos que:

ρ v 1 A 1 = ρ v 2 A 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2 = Q

Então, reescrevendo a equação anterior sabendo também que u 1 é a velocidade de entrada v 1 e u 2 é a velocidade de saída v 2 , que não possui componente em x , então u 2 = 0 então:

R x + p 1 π D 1 2 4 = - ρ v 1 v 1 A 1 + 0

R x + p 1 π D 1 2 4 = - ρ Q v 1

R x = - ρ Q v 1 - p 1 π D 1 2 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

R x = - 999 2,5.10 - 3 1,57 - 11709,9 π 0,045 2 4 → R x = - 22,5   N

Essa é a força que o tubo exerce no cotovelo, então a força que o cotovelo exerce no tubo possui mesma intensidade e sentido oposto, dessa forma:

F x = 22,5   N

Resposta

p 1 = 11709,9   P a

F x = 22,5   N

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