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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 52

Água escoa em regime permanente sobre uma placa plana porosa. Uma sucção constante é aplicada ao longo da seção porosa. O perfil de velocidade na seção c d é

u U ∞ = 3 y δ - 2 y δ 3 / 2

Avalie a vazão mássica através da seção b c .

Passo 1

A figura mostra que a água passa por uma placa plana porosa. Podemos aplicar a equação da continuidade no volume de controle desenhado. Assim temos:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Aqui,  ρ é a densidade,  V → é a velocidade,  d ∀ é o diferencial de volume e  d A → é o diferencial de área.

Podemos supor que o fluxo seja constante e incompressível. Então a equação se reduz a:

∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Agora nós reorganizamos a equação dividindo a integral para cada superfície de controle, com as variáveis ​​fornecidas no problema.

∫ a b   ρ V → ⋅ d A → + ∫ b c   ρ V → ⋅ d A → + ∫ c d   ρ V → ⋅ d A → + ∫ d a   ρ V → ⋅ d A → = 0

- ∫ a b   ρ V d A + ∫ b c   ρ V d A + ∫ c d   ρ V d A + ∫ d a   ρ V d A = 0

- ∫ a b   ρ U ∞ d A + m b c ˙ + ∫ c d   ρ U ∞ 3 y δ - 2 y δ 3 2 d A + ∫ d a   ρ v 0 d A = 0

- ρ U ∞ w δ + m b c ˙ + ∫ 0 δ ρ U ∞ 3 y δ - 2 y δ 3 2 w d y + ρ v 0 w L = 0

- ρ U ∞ w δ + m b c ˙ + ρ U ∞ w ∫ 0 δ 3 y δ - 2 y δ 3 2 d y + ρ v 0 w L = 0

Aqui,  m b c ˙ é a taxa de fluxo de massa entre  b c , w  é a largura da placa,  L  é o comprimento da placa,  v 0 é a velocidade do fluxo através placa plana porosa, U ∞ é a velocidade do fluxo e   δ é a espessura da camada limite.

Passo 2

Podemos rescrever a equação encontrada no passo anterior da seguinte maneira:

m b c ˙ = ρ U ∞ w δ - ρ U ∞ w ∫ 0 δ 3 y δ - 2 y δ 3 2 d y - ρ v 0 w L

m b c ˙ = ρ U ∞ w δ - ρ U ∞ w 3 y 2 2 δ - 2 2 y 5 2 5 δ 3 2 0 δ - ρ v 0 w L

m b c ˙ = ρ U ∞ w δ - ρ U ∞ w 3 δ 2 - 4 δ 5 - ρ v 0 w L

m b c ˙ = ρ U ∞ w δ - ρ U ∞ w 7 δ 10 - ρ v 0 w L

m b c ˙ = ρ w U ∞ δ - 7 10 U ∞ δ - v 0 L

m b c ˙ = ρ w 0,3 U ∞ δ - v 0 L

Agora, é só substituirmos na equação acima, os valores fornecidos no enunciado.

ρ = 999   k g / m 3

w = 1,5   m

U ∞ = 3   m / s

δ = 0,0015   m

v 0 = 0,0002   m / s

L = 2   m

m b c ˙ = 999 k g / m 3 × 1,5   m × 0,3 × 3   m / s × 0,0015   m - 0,0002   m / s × 2   m

m b c ˙ = 1,42 k g / s

O sinal da vazão mássica é positivo, portanto, o fluxo sai pela superfície  b c .

Portanto, a vazão mássica na seção  b c é  1,42 k g / s .

Resposta

m b c ˙ = 1,42 k g / s

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