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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 45

Um tanque, com volume de 0,4   m 3 , contém ar comprimido. Uma válvula é aberta e o ar escapa com velocidade de 250   m / s através de uma abertura de 100   m m 2 de área. A temperatura do ar passando pela abertura é igual a - 20 ℃ e a pressão absoluta é 300   k P a . Determine a taxa de variação da massa específica do ar no tanque nesse instante.

Passo 1

Dados fornecidos:

O volume do tanque é 0,4   m 3 .

A área da abertura é  100   m m 2 = 100 × 10 - 6   m 2 .

A temperatura do ar é  - 20 ℃ .

A pressão absoluta do ar é 300   k P a = 300 × 10 3   P a . 

A velocidade na qual o ar escapa é 250   m / s . 

A constante universal de gás para o ar é R a r = 286,9   J / k g ⋅ K  

Hipóteses:

A densidade no tanque é uniforme

Fluxo uniforme

O ar é um gás ideal

Passo 2

Podemos aplicar a equação da conservação de massa ao volume de controle. Assim obtemos:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Como se supõe que o fluxo seja uniforme sobre a superfície, a relação acima é expressa como:

∂ ∂ t ρ ∀ + ρ 1 V 1 A 1 = 0

∂ ∂ t ρ ∀ = - ρ 1 V 1 A 1

O volume senoidal do tanque não é função de um tempo em que a relação acima é expressa como:

∀ ∂ ρ ∂ t = - ρ 1 V 1 A 1

∂ ρ ∂ t = - ρ 1 V 1 A 1 ∀

Passo 3

Podemos obter a densidade ρ 1 a partir da equação do gás ideal. Assim temos:

P 1 ∀ 1 = n 1 R T 1

P 1 = n 1 ∀ 1 R T 1

P 1 = m a r / M M a r ∀ 1 R T 1

P 1 = m a r ∀ 1 × R M M a r T 1

P 1 = ρ 1 R a r T 1

ρ 1 = P 1 R a r T 1

Passo 4

Agora substituímos ρ 1 na equação encontrada no passo 2 para obtermos a seguinte equação :

∂ ρ ∂ t = - P 1 R a r T 1 × V 1 A 1 ∀

∂ ρ ∂ t = - P 1 V 1 A 1 R a r T 1 ∀

Podemos agora, substituir os termos da equação pelos valores conhecidos, assim encontraremos a taxa de variação da densidade do ar.

∂ ρ ∂ t = - 300 × 10 3   P a × ( 250   m / s ) × 100 × 10 - 6   m 2 286,9   J / k g ⋅ K × 253   K × 0,4   m 3

∂ ρ ∂ t = - 0,258 k g m 3 ⋅ s

Portanto, a taxa de variação da densidade do ar no tanque é  = - 0,258   k g / m ⋅ s .

∂ ρ ∂ t < 0

Indica que a massa no tanque está diminuindo.

Resposta

∂ ρ ∂ t = - 0,258 k g m 3 ⋅ s

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