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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 10.Exercício - Ex. 2

Água escoa de um tanque por um tubo lateral, conforme a figura. A velocidade do escoamento na seção do tubo de descarga é dada por: v = v m á x 1 - r R 2

Determinar:

  1. A taxa de variação com o tempo, no instante t 0 , da massa de água contida no tanque, sendo nesse instante v m á x = v m á x 0 ;
  2. A velocidade de descida no nível da água no tanque no instante inicial.

Passo 1

O volume do tanque é:

V t a n = A t a n ⋅ h

A área da saída é:

A = π R 2

Primeiro, vamos definir algumas relações úteis para a resolução da questão.

v m e d = 1 2 v m á x

Passo 2

Item A)

Primeiro vamos determinar o volume do tanque. Note que h varia com o tempo.

V t a n = A t a n ⋅ h

A questão pede a vazão mássica da água, então vamos considerar um volume de controle:

∂ ∂ t ∫ V C ρ ⋅ d V t a n + ∫ S C ρ ⋅ v → × n → ⋅ d A = 0

Reorganizando:

∂ ∂ t ∫ V C ρ ⋅ d V t a n = - ∫ S C ρ ⋅ v → × n → ⋅ d A

Bem, a água é por natureza um fluido incompressível, ou seja, sua densidade é constante.

ρ ⋅ d d t ∫ V C d V t a n = - ρ ⋅ ∫ S C v → × n → ⋅ d A

A velocidade de saída é normal à área. Ou seja: v → × n → = v .

ρ ⋅ d d t ∫ V C d V t a n = - ρ ⋅ ∫ S C v ⋅ d A

Resolvendo a integral de cada lado

ρ ⋅ d d t ( V t a n ) = - ρ ⋅ v m e d ⋅ A

Para o instante t 0 a velocidade é v m e d = v m á x 0 2 . Além disso, a área de saída pode ser determinada pelo seu raio

ρ ⋅ d d t ( V t a n ) = - ρ ⋅ v m á x 0 ⋅ π R 2 2

O produto ρ ⋅ d d t ( V t a n ) é a própria derivada da vazão mássica.

d Q m d t = - ρ ⋅ v m á x 0 ⋅ π R 2 2

Passo 3

Item B)

A partir da expressão:

ρ ⋅ d d t ( V t a n ) = - ρ ⋅ v m á x 0 ⋅ π R 2 2

Substituímos a expressão do volume do tanque: ρ ⋅ d d t ( A t a n ⋅ h ) = - ρ ⋅ v m á x 0 ⋅ π R 2 2

Perceba que podemos cortar as densidades. Perceba também que a área do tanque não varia.

A t a n d d t h = v m á x 0 ⋅ π R 2 2

A taxa de variação do volume da altura do tanque é:

d d t h = v m á x 0 ⋅ π R 2 2 A t a n

Resposta

  1. d Q m d t = - ρ ⋅ v m á x 0 ⋅ π R 2 2
  2. d d t h = v m á x 0 ⋅ π R 2 2 A t a n
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