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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 12

Água à temperatura de 20°C escoa por um conduto horizontal, cilíndrico, de seção circular (D = 75 mm), com uma velocidade média de 3,2 m/s. Entre duas seções distantes uma da outra 20 m, a perda de pressão é 20 kPa. Com que velocidade deve escoar benzeno, à mesma temperatura, através do mesmo conduto, para que a perda de pressão, entre as mesmas seções, seja a mesma?

Dados: μ H 2 O 20 ° C = 9,8.10 - 4   N . s / m 2 ; μ b e n 20 ° C = 6,4.10 - 4   N . s / m 2 . Função representativa do fenômeno: f Δ p ,   ρ , v , D , μ = 0 .

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa, que já foi fornecida no enunciado:

f Δ p ,   ρ , v , D , μ = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; v = L T - 1 ; D = L ; μ = M L - 1 T - 1 ; Δ p = M L - 1 T - 2 ;

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 5   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 5 - 3 → m = 2   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 v α 2 D α 3 μ  

π 2 = ρ β 1 v β 2 D β 3 Δ p

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 v α 2 D α 3 μ = M L - 3 α 1 L T - 1 α 2 L α 3 M L - 1 T - 1

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 1 = 0 → α 1 = - 1

- α 2 - 1 = 0 → α 2 = - 1

- 3 α 1 + α 2 + α 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + ( - 1 ) + α 3 - 1 = 0 → α 3 = - 1

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 v - 1 D - 1 μ → π 1 = μ ρ v D → R e = ρ v D μ R e y n o l d s

Agora, repetindo o processo para π 2 :

π 2 = ρ β 1 v β 2 L β 3 Δ p = M L - 3 β 1 L T - 1 β 2 L β 3 M L - 1 T - 2

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

β 1 + 1 = 0 → β 1 = - 1

- β 2 - 2 = 0 → β 2 = - 2

- 3 β 1 + β 2 + β 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + - 2 + β 3 - 1 = 0 → β 3 = 0

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ - 1 v - 2 D 0 Δ p → π 2 = Δ p ρ v 2

Passo 3

Agora que encontramos os grupos dimensionais, sabemos que esses números devem ser iguais entre o modelo e o protótipo, ou seja:

π 2 m = π 2 p → Δ p m ρ m v m 2 = Δ p p ρ p v p 2

R e m = R e p → ρ m v m D m μ m = ρ p v p D p μ p

Agora vamos isolar a relação ρ p / ρ m da primeira equação e depois substituir na segunda, então:

ρ p ρ m = Δ p p v m 2 Δ p m v p 2

Substituindo na segunda equação:

ρ p ρ m = v m D m μ p μ m v p D p → Δ p p v m 2 Δ p m v p 2 = v m D m μ p μ m v p D p

Segundo o enunciado, temos o tubo de mesmo diâmetro D m = D p e a mesma perda de pressão Δ p m = Δ p p , então simplificando a expressão:

v m v p = μ p μ m → v p = v m μ m μ p

Substituindo os valores conhecidos:

v p = 3,2 9,8.10 - 4 6,4.10 - 4 → v p = 4,9   m / s

Resposta

v p = 4,9   m / s

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