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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 80

Considere o escoamento de água em torno de um cilindro circular, de diâmetro D e comprimento l . Além da geometria, sabe-se que a força de arrasto é dependente da velocidade do líquido, V , da massa específica, ρ e da viscosidade, μ . Expresse a força de arrasto, F D , em forma adimensional como uma função de todas as variáveis relevantes. A distribuição de pressão estática sobre um cilindro circular, medida no laboratório, pode ser expressa em termos do coeficiente adimensional de pressão; o mais baixo coeficiente de pressão é C p = - 2,4 , no ponto da mínima pressão estática sobre a superfície do cilindro. Estime a máxima velocidade com a qual um cilindro pode ser rebocado na água, à pressão atmosférica, sem causar cavitação, se o índice de cavitação incipiente for 0,5.

Passo 1

Neste problema é pedido o funcional da força de arrasto, bem como a velocidade do escoamento considerando um dado coeficiente de pressão e índice de cavitação.

Para resolver a primeira parte do problema será necessário o uso do Teorema de Buckingham.

Além disso será necessário utilizar o coeficiente de pressão:

C p = p m i n - p 1 2 ρ V 2

E número de cavitação:

C a = p m i n - p v 1 2 ρ V 2

Como parâmetros conhecidos têm:

- coeficiente de pressão: C p = - 2,4 ;

- número de cavitação: C a = - 2,4 ;

- modelo à pressão atmosférica: p a t m = 1,01 × 10 5   P a .

Passo 2

Definindo os parâmetros dimensionais conforme apresentados no enunciado: força de arrasto ( F D ), diâmetro do cilindro ( D ), comprimento do cilindro ( l ), velocidade de escoamento ( V ), massa específica ( ρ ) e viscosidade do fluido ( μ ).

Logo o número de parâmetros dimensionais é:

n = 6

Passo 3

Escolhendo as dimensões primárias:

- F D = M ∙ L t 2

- D = L

- l = L

- V = L t

- ρ = M L 3

- μ = M L ∙ t

Logo, as dimensões primárias são M , L e t , ou seja:

r = m = 3

Passo 4

Os parâmetros repentes serão r = m = 3 .

Neste prolema como parâmetros repetentes serão escolhidos ρ , V e D , os quais representam as características dinâmica, cinética e geométrica, respectivamente.

Passo 5

Número de parâmetros adimensionais ( n - m ):

n - m = 6 - 3 = 3   a d i m e n s i o n a i s  

Passo 6

Os adimensionais a serem obtidos podem ser escritos como:

- π 1

π 1 = F D ∙ ρ a ∙ V b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M ∙ L t 2 ∙ M L 3 a ∙ L t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :     1 - 3 a + b + c = 0

t :   - 2 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 2

c = - 2

Logo:

π 1 = F D ∙ ρ - 1 ∙ V - 2 ∙ D - 2

De forma que π 1 vale:

π 1 = F D ρ V 2 D 2

- π 2

π 2 = μ ∙ ρ a ∙ V b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L ∙ t ∙ M L 3 a ∙ L t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :   - 1 - 3 a + b + c = 0

t :   - 1 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 1

c = - 1

Logo:

π 2 = μ ∙ ρ - 1 ∙ V - 1 ∙ D - 1

De forma que π 2 vale:

π 2 = μ ρ V D

- π 3

π 3 = l ∙ ρ a ∙ V b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L ∙ M L 3 a ∙ L t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :   1 - 3 a + b + c = 0

t :   - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = 0

c = - 1

Logo:

π 3 = l ∙ ρ 0 ∙ V 0 ∙ D - 1

De forma que π 3 vale:

π 3 = l D

Passo 7

Obtido os 3 adimensionais do problema é possível definir o funcional da força de arrasto como sendo:

π 1 = f π 2 , π 3

F D ρ V 2 D 2 = f μ ρ V D , l D  

Atenção: o adimensional π 2 pode ser visto como 1 / R e .

Passo 8

No ponto de mínima pressão é conhecido o coeficiente de pressão, ou seja:

C p = p m i n - p 1 2 ρ V 2

Já para não ocorrência de cavitação é conhecido o número de cavitação, dado por:

C a = p m i n - p v 1 2 ρ V 2

Sendo p a pressão na corrente líquida e p v a pressão de vapor do líquido na temperatura de teste.

Note que as duas expressões têm p m i n em comum, de forma que é possível reescrever tais expressões como:

p m i n = p + 1 2 ρ C p V 2

Note que p representa a pressão atmosférica a que o modelo está submetido.

p m i n = p v + 1 2 ρ C a V 2

Note que p v é a pressão de vapor da água.

Igualando as expressões de p m i n :

p + 1 2 ρ C p V 2 = p v + 1 2 ρ C a V 2

Tendo como objetivo a obtenção da velocidade máxima do cilindro, a expressão acima pode ser reescrita como:

V 2 2 ρ C a - C p = p - p v

V = 2 × ( p - p v ) ρ C a - C p

Considerando água a temperatura de 20°C e a partir da Tabela A.7:

ρ = 998   k g / m 3

p v = 2,34   k P a

Utilizando os parâmetros numéricos:

V = 2 × ( 1,01 × 10 5 - 2,34 × 10 3 ) 998 × 0,5 - ( - 2,4 )

Logo, a velocidade máxima que o cilindro deve ser rebocado é de:

V = 8,26   m / s

Resposta

F D ρ V 2 D 2 = f μ ρ V D , l D  

V = 8,26   m / s

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