Enunciado

Se a água no tubo do Problema 6.89 está inicialmente em repouso e a pressão do ar é mantida em 21 kPa (manométrica), qual será a aceleração da água no tubo?

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício aplicando a equação de Bernoulli para regime transiente entre o reservatório (ponto 1) e a saída do tubo (ponto 2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Nesse caso, como o ponto 2 está exposto à atmosfera, temos p 2 = p a t m = 0 , dessa forma, iremos obter uma pressão p 1 manométrica. Sabemos também que dentro do reservatório, podemos considerar v 1 = 0 e o enunciado nos disse que a água no tubo está inicialmente em repouso, então v 2 = 0 . Dessa forma, a equação se torna:

p ρ + 0 2 2 + g h = 0 ρ + 0 2 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Conforme vimos no Problema 6.89, a velocidade não depende do trajeto s entre 1 e 2, então, podemos retirar esse termo da integral e reescrevê-lo como uma derivada simples, então a equação de Bernoulli se torna:

p ρ + g h = d V d t ∫ 1 2 d s

Passo 2

Como o caminho s é simplesmente o comprimento L , a equação de Bernoulli se torna:

p ρ + g h = d V d t L

No entanto, nós sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade no tempo, ou seja:

a = d V d t

Então, reescrevendo a equação de Bernoulli, temos:

p ρ + g h = a L

Então, substituindo os valores conhecidos, temos a pressão no interior do tanque para o instante dado:

21.10 3 999 + 9,81 1,4 = a 10,7

a = 3,25   m / s 2

Resposta

a = 3,25   m / s 2

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