Enunciado

Um tanque com um orifício reentrante chamado bocal de Borda é mostrado. O fluido é não viscoso e incompressível. O orifício reentrante essencialmente elimina o escoamento o longo das paredes do tanque, de modo que a pressão ali é aproximadamente hidrostática. Calcule o coeficiente de contração, C C = A j / A 0 . Sugestão: Equacione a força de pressão hidrostática e a quantidade de movimento do jato.

Passo 1

Vamos começar o exercício ilustrando o volume de controle que vamos utilizar:

Vamos começar o exercício aplicando Bernoulli entre o ponto 1 e a saída do jato (ponto 2), dessa forma, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse caso os dois pontos estão a mesma altura, então podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 . E como a saída está exposta a atmosfera, então temos p 2 = p a t m = 0 e dessa forma iremos obter uma pressão p 1 manométrica. Temos ainda, considerando um tanque de grandes dimensões, que a velocidade no ponto 1 é zero. Então, reescrevendo a equação, temos:

p 1 ρ + 0 2 2 = 0 ρ + v j 2 2 → p 1 = ρ v j 2 2

Passo 2

Agora, da hidrostática, sabemos que a pressão no ponto 1 pode ser dada pela altura da coluna de água, que nesse caso é h , então, temos:

p 1 = ρ g h

Igualando essa expressão à equação encontrada para p 1 no passo 1, temos:

ρ g h = ρ v j 2 2 → v j 2 = 2 g h

Passo 3

Agora vamos aplicar o equilíbrio de momento, da equação 4.18a, para o sistema, a equação tem a forma:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Nesse exercício, como temos regime permanente, então podemos desconsiderar o termo com a derivada no tempo. Iremos desprezar também as forças de campo na direção x , de modo que F B x = 0 . Então a equação se torna:

F p = u 1 ( ρ v j A j )

Nesse exercício, temos u 1 = v j . Sabemos que F p , que é a força exercida pela coluna da água, pode ser encontrada multiplicando o valor da pressão nesse ponto ( p 1 ) pelo valor da área, então, temos:

F p = p 1 A 0

E, como vimos no passo 2, podemos escrever p 1 = ρ g h , então F p se torna:

F p = ρ g h A 0

Substituindo esses valores na equação de cima, temos:

ρ g h A 0 = v j ρ v j A j → ρ g h A 0 = ρ v j 2 A j → v j 2 = g h A 0 A j

Passo 4

Agora vamos igualar as duas equações encontradas para v j 2 nos passos 2 e 3, então, temos:

2 g h = g h A 0 A j → A j A 0 = g h 2 g h → C C = A j A 0 = 1 2

Resposta

C C = A j A 0 = 1 2

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