Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 90

Analise e discuta um caso limite do Problema 9 - 89 no qual não há cilindro interno ( R i = ω i = 0 ). Encontre uma expressão de u θ em função de r . Que tipo de escoamento é este? Descreva como esse escoamento poderia ser implementado experimentalmente.

Passo 1

Vamos primeiro retomar qual era a situação do Problema 9 - 89 :

Tínhamos um líquido com propriedades constantes ( ρ ,   μ ) confinado no espaço entre dois cilindros. O cilindro interno girava com velocidade angular ω i e o interno com ω o . E, a partir disso, devemos obter o perfil de velocidades. Tudo bem?

Agora, a situação é um pouco diferente e não temos cilindro interno. Ou seja, nosso problema se reduz à:

E o nosso escoamento passa de escoamento em espaço anular para escoamento no interior de um duto cilíndrico. Teremos então que obter o perfil de velocidade para esta situação. Vamos lá?

Passo 2

Para começar, vamos aplicar a equação da continuidade para coordenadas cilíndricas:

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ ∂ r r ρ u r + 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ + ∂ ∂ z ρ u z = 0

Para esta situação, vamos considerar que estamos em regime permanente. Além disso, apenas a componente u θ é não-nula e o fluido é incompressível. Então:

∂ ρ ∂ t = 0 ;

u r = 0 ;

u z = 0

E a equação da continuidade é reduzida à:

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ ∂ r r ρ u r + 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ + ∂ ∂ z ρ u z = 0 + 1 r ∂ ∂ r 0 + 1 r ∂ ∂ θ ρ u θ + ∂ ∂ z 0 = 0

1 r ∂ ∂ θ ρ u θ = 0

∂ ∂ θ ρ u θ = 0

ρ ∂ ∂ θ u θ = 0

∂ ∂ θ u θ = 0

Ou seja, u θ não é função da direção θ . O que é equivalente a dizer que

u θ = u θ ( r )

Tudo bem até aqui?

Nosso próximo passo para chegar ao perfil de velocidade será aplicar a equação de Navier-Stokes.

Passo 3

Como só temos escoamento na direção θ , vamos aplicar a equação de Navier Stokes para a componente θ :

ρ ∂ u θ ∂ t + u r ∂ u θ ∂ r + u θ r ∂ u θ ∂ θ + u r u θ r + u z ∂ u θ ∂ z = - 1 r ∂ P ∂ θ + ρ g θ + μ ∂ ∂ r 1 r ∂ ∂ r r u θ + 1 r 2 ∂ 2 u θ ∂ θ 2 + 2 r 2 ∂ u r ∂ θ + ∂ 2 u θ ∂ z 2

Vamos agora olhar mais de perto os termos do lado esquerdo da equação.

Estamos considerando regime estacionário e que as componentes de velocidade u r e u z são nulas. Além disso, vimos pela equação da continuidade que u θ = u θ ( r ) . Então:

∂ u θ ∂ t = 0 ;

u r ∂ u θ ∂ r = 0 ;

∂ u θ ∂ θ = 0 ;

u r u θ r = 0 ;

u z ∂ u θ ∂ z = 0

E o nosso lado esquerdo se reduz à:

ρ ∂ u θ ∂ t + u r ∂ u θ ∂ r + u θ r ∂ u θ ∂ θ + u r u θ r + u z ∂ u θ ∂ z = ρ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Vamos agora olhar para os termos do lado direito.

O fluido está escoando devido à movimentação do cilindro, e não devido ao gradiente de pressão ou pela força gravitacional. Além disso, como comentamos agora a pouco u θ = u θ ( r ) e as componentes de velocidade u r e u z são nulas. Então:

∂ P ∂ θ = 0 ;

ρ g θ = 0 ;

∂ 2 u θ ∂ θ 2 = 0 ;

∂ u r ∂ θ = 0 ;

∂ 2 u θ ∂ z 2 = 0

E a equação de Navier-Stokes fica:

0 = μ ∂ ∂ r 1 r ∂ ∂ r r u θ

∂ ∂ r 1 r ∂ ∂ r r u θ = 0

Passo 4

Se a derivada em relação à r é nula, então:

1 r ∂ ∂ r r u θ = C 1

Em que C 1 é uma constante. Continuando:

∂ ∂ r r u θ = C 1 r

∂ r u θ = C 1 r ∂ r

Integrando dos dois lados:

∫ ∂ r u θ = ∫ C 1 r ∂ r

r u θ = C 1 r 2 2 + C 2

Vamos aplicar as condições de contorno para o problema. Pelo princípio da aderência temos que:

u θ r = r e = ω o r e

Além disso, esperamos que no centro a velocidade seja mínima:

u θ r = 0 = 0

Aplicando estas condições ao perfil:

0 = C 1 × 0 2 + C 2 → C 2 = 0

r e × ω o r e = C 1 r e 2 2 → C 1 = 2 ω o r e 2 r e 2 = 2 ω o

Substituindo no perfil ficamos com:

r u θ = 2 ω o r 2 2

u θ = ω o r

Este tipo de escoamento já é aplicado industrialmente por exemplo em secadores do tipo tambor rotativo, em que o fluido é colocado em um reator cilíndrico com rotação constante. Neste caso, o eixo interno (cilindro interno) possui um tamanho muito pequeno em relação ao cilindro externo, de forma que podemos aproximar o escoamento para este caso.

Resposta

Perfil de velocidade: u θ = ω o r .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um campo de velocidade permanente, bidimensional, incompressível, possui componentes de velocidade cartesiana u = C y x 2 +y 2 e v = - C x x 2 +y 2 , onde C é uma constante. Transforme essas component
A forma compressível da equação de continuidade é ∂ ρ ∂ t + ∇ →.ρ V → = 0 . Expanda essa equação o máximo possível nas coordenadas cartesianas ( x ,y ,z ) e ( u ,v ,w ) .
Verifique se o escoamento em espiral de linha de vórtices/sumidouros no plano r θ do Prob. 9–17 satisfaz a equação de continuidade incompressível bidimensional. O que acontece com a conservação de mas
Considere o escoamento em espiral de linha em vórtices/sumidouros no plano x y ou r θ , conforme esboçado na Fig. P9–17. As componentes cilíndricas bidimensionais da velocidade ( u r ,u θ ) para esse
Beth está estudando um fluxo rotativo em um túnel de vento. Ela mede os componentes u e v da velocidade usando um anemômetro de fio quente. Em x = 0,50m e y =0,20m , u = 1 0,3 m s e v = -5,6 m s . Inf