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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 22

A forma compressível da equação de continuidade é ∂ ρ ∂ t + ∇ →   .   ρ V → = 0 . Expanda essa equação o máximo possível nas coordenadas cartesianas ( x ,   y ,   z )   e ( u ,   v ,   w ) .

Passo 1

Shoooow galerinhaa !!

Esta é bem legal!!

Se lembram como calculamos o divergente de um vetor?

É bem simples, basta lembrarmos da carinha deles:

ρ V → = ρ u i + ρ v j + ρ w k

∇ → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k

Portanto:

∇ →   .     ρ V → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . ρ u i + ρ v j + ρ w k

Multiplicando os termos nas suas respectivas direções:

∇ →   .     ρ V → = ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w

Se lembram da Regra do Produto?

“Derivada da primeira vezes a segunda mais a derivada da segunda vezes a primeira!”

Vamos aplicar?

∇ →   .     ρ V → = ρ ∂ u ∂ x + u ∂ ρ ∂ x + ρ ∂ v ∂ x + v ∂ ρ ∂ x + ρ ∂ w ∂ x + w ∂ ρ ∂ x

Agora é só aplicarmos na equação dada:

∂ ρ ∂ t + ∇ →   .   ρ V → = 0

∂ ρ ∂ t + ρ ∂ u ∂ x + u ∂ ρ ∂ x + ρ ∂ v ∂ x + v ∂ ρ ∂ x + ρ ∂ w ∂ x + w ∂ ρ ∂ x = 0

Vocês gostaram, podem assumir !!

Resposta

∂ ρ ∂ t + ρ ∂ u ∂ x + u ∂ ρ ∂ x + ρ ∂ v ∂ x + v ∂ ρ ∂ x + ρ ∂ w ∂ x + w ∂ ρ ∂ x = 0

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