Aplique a equação de Bernoulli para escoamento não permanente ao manômetro de tubo em U de diâmetro constante mostrado. Considere que o líquido no manômetro é inicialmente deslocado pela aplicação de um diferencial de pressão e, em seguida, liberado. Obtenha uma equação diferencial para l como uma função do tempo.

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício aplicando a equação de Bernoulli para regime transiente entre os pontos 1 e 2 do manômetro:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Nesse caso, como os pontos 1 e 2 estão expostos à atmosfera, temos p 1 = p 2 = p a t m e os termos de pressão se cancelam. Nesse caso, devido a simetria do problema, da ausência de forças externas e da seção do manômetro ser constante, temos então que v 1 = v 2 e os termos de velocidade também se cancelam, então a equação se torna:

g z 1 = g z 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s → ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s = g ( z 1 - z 2 )

Passo 2

Sabemos que a velocidade é o taxa de mudança da distância em função do tempo, só que no nosso caso, quando um aumenta, o outro diminui, então podemos escrever:

V = - d s d t

No nosso caso, o deslocamento é l , então, temos:

V = - d l d t

Analisando o desenho do manômetro, como temos um lado que subiu uma distância l e outro lado que abaixou uma distância l , então a diferença entre as cotas é:

z 1 - z 2 = 2 l

Passo 3

Agora vamos retornar à equação de Bernoulli e substituir as expressões conhecidas:

∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s = g z 1 - z 2 → ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d l = g 2 l

Resolvendo a integral, temos:

∂ V ∂ t L = 2 g l

Agora vamos substituir o valor de V encontrado no passo 2:

∂ ∂ t - d l d t L = 2 g l → - d 2 l d t 2 L = 2 g l

Dividindo a equação por L , chegamos em:

d 2 l d t 2 + 2 g L l = 0

Resposta

d 2 l d t 2 + 2 g L l = 0

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