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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 89

Modifique o problema P4.88 de modo que o cilindro externa também se mova para a esquerda a uma velocidade constante V. Encontre a distribuição de velocidade v z ( r ) . Para que relação V/U a tensão de cisalhamento na parede será a mesma em ambas as superfícies do cilindro?

Passo 1

Tudo bem, genteee?!! Então, vamos começar nossas aventuras com a mecânica dos fluidos? Olha que maneiro!!! O enunciado já disse pra gente lá na questão 88 (figura acima) qual será a coordenada de interesse para termos o perfil de velocidade, certo? Ele disse pra gente que será a componente z que será função de r.

Em outras palavras temos que v θ = v r = 0 e considerando completamente desenvolvido, temos também que: ∂ ∂ z = 0 . Escoamento permanente e incompressível também é uma hipótese que faremos!!!

Como sempre, vamos apelar primeiro para a equação da continuidade pra ver o que ela vai dizer pra gente de mais possíveis simplificações!!!

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ r ρ v r ∂ r + 1 r ∂ ρ v θ ∂ θ + ∂ ρ v z ∂ z = 0

∂ v θ ∂ θ = 0

Olha, a continuidade também nos deu mais uma simplificação que vamos utilizar na equação de Navier Stokes abaixo!!!

Passo 2

Com nossas simplificações, incluindo aquela que encontramos como resultado da equação da continuidade ao final temos algo do tipo:

μ r d d r r d v z d r = 0

Vamos integrar essa belezinha?

r d v z d r = C 1

∫ d v z = ∫ C 1 r d r  

v z = C 1 ln ⁡ r + C 2

Passo 3

O passo que muda em relação a questão 88 está aqui, nas condições de contorno! Porque agora, onde era nossa parede, ou seja, em r = b, não teremos mais a condição de não deslizamento, mas sim uma velocidade na mesma direção, porém em sentido contrário, ou seja, (-V).

v z a = U         ,               v z b = - V

C 1 = ( U + V ) ln ⁡ a b ,                 C 2 = U - ( U + V ) l n ⁡ ( a ) / ln ⁡ a b

Passo 4

Portanto, nossa solução final nos diz que:

v z = U + U + V ln ⁡ r a / ln ⁡ a b    

Resposta

v z = U + U + V ln ⁡ r a / ln ⁡ a b

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