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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 13

A área sombreada mostrada está em um escoamento onde o campo de velocidade é dado por V =   a x î   =   b y ĵ ; a   =   b   =   1   s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Avalie a vazão volumétrica e o fluxo de quantidade de movimento através da área sombreada ( ρ   =   1 k g m 3 ) .

Passo 1

Nesse problema, temos um campo de velocidade e a geometria do volume de controle. Tudo que precisamos é encontrar taxa de fluxo de volume e fluxo de momento. Portanto, o pontapé inicial é definirmos os vetores de área e velocidade:

d A → = d y d z i ^ + d x d y k ^

V → = a x i ^ + b y j ^         o u       V → = x i ^ + y j ^

Vamos precisar da equação da superfície: z = 3 - 3 4 x ou x = 4 - 4 3 z .

Passo 2

Com essas informações, podemos achar a taxa de fluxo de volume:

Q = ∫ V → d A = ∫ a x i ^ + b y j ^ ( d y d z i ^ + d x d y k ^ )

Agora, vamos usar a integral dupla,

∫ 0 3 ∫ 0 5 x d y d z = 5 ∫ 0 3 4 - 4 3 z d z d = 5 4 z - 2 3 z 2 0 3

Q = 60 - 30 = 30 m 3 s

Passo 3

Para o fluxo de momento, temos:

ρ ∫ V → ( V → d A → ) = ρ ∫ x i ^ + y j ^ ( x i ^ + y j ^ )   ( d y d z i ^ + d x d y k ^ )

= ρ ∫ 0 3 ∫ 0 5 x 2 d y d z   i ^ + ρ ∫ 0 3 ∫ 0 5 x y d y d z   i ^

= 5 ∫ 0 3 4 - 4 3 z 2 d z i ^ + y 2 2 0 5 ∫ 0 3 4 - 4 3 z 2 d z i ^

Organizando, temos

= 5 ∫ 0 3 16 - 32 3 z + 16 9 z 2 d z i ^ + 25 2 z - 2 3 z 2 0 3 j ^

= 5 16 z - 16 3 z 2 + 16 27 z 3 0 3 i ^ + 25 2 ( 12 - 6 ) j ^

= 5 ( 48 - 48 + 16 ) i ^ + 75 j ^

F l u x o   d o   m o m e n t o :   80 i ^ + 75 j ^   N

Prontinho!!

Resposta

Q = 30 m 3 s e F l u x o   d o   m o m e n t o :   80 i ^ + 75 j ^   N

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