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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 87

Para a aproximação da onda senoidal do Problema 10 - 85 , use a definição de coeficiente local de atrito superficial e a equação integral de Kárman para gerar uma expressão para δ / x . Compare o seu resultado com a expressão de Blasius para δ / x . Observação: Para resolver esse problema você precisará dos resultados do Problema 10 - 86 )

Passo 1

Lembrando que a aproximação senoidal que estamos usando é dada como:

u y ≈ U   s e n π y 2 δ para y < δ , e u = U para y ≪ δ

E esse tal coeficiente de atrito superficial pode ser visto na página 473 (da primeira edição desse livro) e pode ser entendida pela equação abaixo:

C f , x = τ w 1 2 ρ U 2 = 2 d θ d x

Onde a parcela 2 d θ d x é a equação integral de Kármán sobre uma placa plana (o que é justamente o que viemos procurar)

Só que de capítulos passados sabemos que a tensão de cisalhamento é escrita por:

τ = μ d u d y → p a r a   y = 0

Essa condição pode ser vista na equação ( 7 ) do exemplo 10-10 na página 456 da primeira edição desse livro.

Com u sendo a velocidade do fluido em questão, portanto se substituirmos na equação do coeficiente local de atrito superficial nós temos:

μ 1 2 ρ U 2 d u d y = 2 d θ d x

Arrumando a casa um pouco nós temos:

μ ρ U 2 d u d y = d θ d x

Agora aplicando a substituição u = U   s e n π y 2 δ , nós temos:

μ ρ U 2 d U   s e n π y 2 δ d y = d θ d x

Fazendo a derivada de U   s e n π y 2 δ em relação a y (pela regra da cadeira) nós temos:

μ ρ U 2 ⋅ U c o s π y 2 δ ⋅ π 2 δ = d θ d x

Ou seja:

μ π 2 ρ U δ cos ⁡ π y 2 δ = d θ d x

Para y = 0 teremos:

μ π 2 ρ U δ = d θ d x

Passo 2

Da questão anterior (86) nós vimos que:

θ δ = 0.137

Então:

d θ d δ = 0.137 → d θ = 0.137 d δ

Substituindo isso na equação que encontramos no passo anterior nós temos:

μ π 2 ρ U δ = 0.137 d δ d x

Agora isolando os termos nós temos:

μ π 2 ρ U ⋅ 0.137 d x = δ d δ

Integrando os dois lados nós temos:

μ π x 2 ρ U ⋅ 0.137 = δ 2 2

δ = μ π x 0.137 ρ U

Então se forçarmos R e x = ρ U x μ , nós temos:

δ = π 0.137 ⋅ x 2 μ ρ U x

Então:

δ = x π 0.137 ⋅ 1 R e x

δ x = 4.79 R e x

Passo 3

Como a solução de Blasius nos dá uma relação igual a:

δ x = 4.91 R e x

Pela tabela 10-4

Então o erro será de:

e r r o = 4.91 - 4.79 4.91 = 2.47 %

Resposta

δ x = 4.79 R e x ; e r r o = 2.47 %

Ver Outros Exercícios desse livro

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