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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 17

Uma aproximação razoável para a camada-limite laminar incompressível bidimensional sobre a superfície plana da Figura P 4.17 é

u = U 2 y δ - y 2 δ 2   p a r a   y ≤ δ   e m   q u e   δ = C x 1 2 ,   C = c o n s t

(a) Admitindo uma condição de não escorregamento na parede, encontre uma expressão para o componente de velocidade y   x ,   y para y ≤ δ . (b) Depois encontre o valor máximo de v em x = 1   m , para o caso particular do escoamento de ar, quando U = 3   m / s e δ = 1,1   c m .

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

a)

Para resolvermos isso vamos encontrar a equação da continuidade para um sistema de duas coordenadas, algo que já fizemos bastante até agora, vamos lá!

d v d y = - d u d x

d v d y = - d d x U 2 y δ - y 2 δ 2

Agora vamos lembrar que:

δ = C x 1 2

Assim:

d v d y = - d d x U 2 y δ - y 2 δ 2

d v d y = - U - 2 y δ 2 + 2 y 2 δ 3 d d x C x  

Agora calculando v :

v = 2 U δ 2 x ∫ 0 y y δ 2 - y 2 δ 3 d y

v = 2 U δ 2 x y 2 2 δ 2 - y 3 3 δ 3

Passo 2

b)

Agora para matarmos essa questão de vez!

Podemos observar que v aumenta como uma função monótona de acordo com o crescimento de y , assim v m á x ocorre em y = δ , fazendo nossas continhas:

v m á x = 2 U δ 2 x δ 2 2 δ 2 - δ 3 3 δ 3 = δ U x 1 6

v m á x = δ U 6 x = 3   m s ⋅ 0,011 6 ⋅ 1 m

v m á x = 0,0055   m / s  

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

a)

v = 2 U δ 2 x y 2 2 δ 2 - y 3 3 δ 3

b)

v m á x = 0,0055   m / s  

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