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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 79

Estude o efeito combinado dos dois escoamentos viscosos na Figura 4.12. Isto é, encontre u ( y ) quando a placa superior se move a uma velocidade V e há também um gradiente de pressão constante ( d p / d x ) . É possível a superposição? Em caso afirmativo, explique por que. Faça um gráfico dos perfis de velocidade representativos para gradientes de pressão (a) zero, (b) positivo e (c) negativo para a mesma velocidade V da parede superior.

Passo 1

Bora pra mais uma!

Substituindo u = u(y) no componente x da equação da quantidade de movimento de Navier-Stokes para escoamento bidimensional (x, y):

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = - ∂ p ∂ x - ρ g x + μ ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 )

Daí:

ρ 0 + 0 = - ∂ p ∂ x + 0 + μ ∂ 2 u ∂ y 2

μ ∂ 2 u ∂ y 2 - ∂ p ∂ x = 0

Desses dois termos, conforme apresentado na seção 4.10 do livro o termo μ ∂ 2 u ∂ y 2 nos dá como solução o escoamento entre placas com uma parede superior em movimento e o termo - ∂ p ∂ x o escoamento em um canal em virtude de um gradiente de pressão, daí:

u y = V 2 1 + y h + h 2 2 μ - d p d x 1 - y 2 h 2

Resposta

u y = V 2 1 + y h + h 2 2 μ - d p d x 1 - y 2 h 2

A superposição é bastante valida porque a aceleração convectiva é zero, portanto o que resta é a linear: ∇ p = μ ∇ 2 V .   Os perfis de velocidade representativos para os gradientes de pressão são representados abaixo:

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