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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 12

Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada-limite laminar e incompressível é uma variação senoidal de u = 0 na superfície ( y = 0 ) até a velocidade de corrente livre, U , na borda da camada-limite ( y = δ ) . A equação do perfil é u = U   s e n   π y 2 δ , em que δ = c x 1 2 , sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é

u U = 1 π δ x cos ⁡ π 2 y δ + π 2 y δ s e n   π 2 y δ - 1

Determine o local do máximo valor da razão  υ / U . Avalie a razão em que x = 0,5   m e δ = 5   m m .

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Sabendo que:

u = U   s e n   π y 2 δ

Então:

∂ ∂ δ U   s e n   π y 2 δ = U - π y 2 δ 2 cos ⁡ π y 2 δ

E

∂ δ ∂ x = ∂ ∂ x c x 1 2 = 1 2 c x 1 2 x = δ 2 x

Temos que:

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ δ ⋅ ∂ δ ∂ x =   U - π y 2 δ 2 cos ⁡ π y 2 δ ⋅ δ 2 x

∂ u ∂ x = - U 2 x π y 2 δ cos ⁡ π y 2 δ

Passo 3

Tendo que:

∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x

Então:

∂ v ∂ y = U 2 x π y 2 δ cos ⁡ π y 2 δ

Integrando:

d v = U 2 x π y 2 δ cos ⁡ π y 2 δ   d y

∫ d v = U 2 x ∫ π y 2 δ cos ⁡ π y 2 δ d y

v x , y = U π δ x cos ⁡ π y 2 δ + π y 2 δ s e n   π y 2 δ - 1 + f ( x )

Passo 4

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( x ) pode ser qualquer função de y .

Sendo a mais simples f x = 0 :

v x , y = U π δ x cos ⁡ π y 2 δ + π y 2 δ s e n   π y 2 δ - 1

v U = 1 π δ x cos ⁡ π y 2 δ + π y 2 δ s e n   π y 2 δ - 1

Passo 5

Determinando a razão em que δ = 5   m m e x = 0,5   m , sabendo que y = δ .

v U = 1 π 0,005 0,5 cos ⁡ π 2 + π 2 s e n   π 2 - 1 = 1,82 x 10 - 3

Resposta

v U = 1 π δ x cos ⁡ π y 2 δ + π y 2 δ s e n   π y 2 δ - 1

v U = 1 , 82 x 10 - 3

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