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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 14

A área sombreada mostrada está em um escoamento onde o campo de velocidade é dado por V → = a x i ^ = b y j ^ + c k ^ ; a = b = 2   s - 1 e c = 1   m / s . Escreva uma expressão vetorial para um elemento da área sombreada. Avalie as integrais sobre a área sombreada.

Passo 1

Nesse problema, temos um campo de velocidade e a geometria do volume de controle. Tudo que precisamos é encontrar as integrais de superfície. Portanto, o pontapé inicial é definir o vetor de área:

d A → = d y d z   i ^ + d x d z   j ^

E o vetor velocidade:

V → = a x   i ^ + b y   j ^ + c   k ^

Substituindo os valores das constantes que foram dadas no enunciado, ( a = 2   s - 1 , b = 2   s - 1 e c = 1   m / s ), ficamos então, com:

V → = 2 x i ^ + 2 y j ^ + k ^

Vamos precisar da equação da superfície: y = 3 2 x ou x = 2 3 y .

Passo 2

Com essas informações, podemos integrar:

Q = ∫ V → d A = ∫ - a x i ^ + b y j ^ + c k ^ ( d y d z i ^ - d x d z j ^ )

Como estamos integrando em relação a área, vamos usar integral dupla, teremos então:

Q = ∫ 0 2 ∫ 0 3 - a x   d y d z - ∫ 0 2 ∫ 0 2 b y   d x d z =   - a ∫ 0 2 d z ∫ 0 3 2 3 y d y - b ∫ 0 2 d z ∫ 0 2 3 2 x d x

Resolvendo, ficamos com:

Q = - 2 a 1 3 y 2 0 3 - 2 b 3 4 x 2 0 2

Logo, teremos que:

Q = - 6 a - 6 b

Substituindo os valores de a e de b :

Q =   - 6 ⋅ 2 - 6 ⋅ 2

Ficamos então, com:

Q =   - 24   m 3 s

Passo 3

Vamos precisar novamente da equação da superfície: y = 3 2 x ou x = 2 3 y e também d y = 3 2 d x e a = b … Vamos ter:

∫ V → ( V → d A → ) = ∫ - a x i ^ + b y j ^ + c k ^ ( - a x i ^ + b y j ^ + c k ^ )   ( d y d z i ^ - d x d z j ^ )

E ficaremos com:

= ∫ - a x i ^ + b y j ^ + c k ^ ( - a x d y d z - b y d z d x )  

Organizando isso aí, temos:

= ∫ - a x i ^ + 3 2 a x j ^ + c k ^ ( - a x 3 2 d x d z - a 3 2 x d x d z )  

Temos então:

= ∫ - a x i ^ + 3 2 a x j ^ + c k ^ ( - 3 a x d x d z )  

Fazendo a integral dupla, teremos que:

= 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 a 2 x 2 d x d z i ^ - 9 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 a 2 x 2 d x d z j ^ - 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 a c x d x d z k ^

Isso vai nos dar:

= 6 a 2 x 3 3 0 2 i ^ - 9 a 2 x 3 3 0 2 j ^ - 6 a c x 2 2 0 2 k ^

Substituindo os limites de integração e resolvendo, ficamos com:

= 16 a 2 i ^ - 24 a 2 j ^ - 12 a c k ^

Substituindo o valor de a e de c , vamos ficar com:

= 16 ⋅ 2 2 i ^ - 24 ⋅ 2 2 j ^ - 12 ⋅ 2 ⋅ 1 k ^

Sendo assim, temos que a expressão vetorial para um elemento da área sombreada será dada por:

64 i ^ - 96 j ^ - 24 k ^   m 4 s 2

Prontinho!

Resposta

64 i ^ - 96 j ^ - 24 k ^   m 4 s 2

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