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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 17

A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um longo tubo circular de raio R é dada pela expressão unidimensional,

V → = u i ^ = u m a x 1 - r R 2 i ^

Para este perfil, obtenha expressões para a vazão volumétrica e para o fluxo de quantidade de movimento através da seção normal ao eixo do tubo.

Passo 1

Essa questão é uma dedução através de formulas que já temos conhecimento. Tudo o que temos é um volume de controle com distribuição parabólica de velocidade em um tubo. Então é necessário determinar a taxa de fluxo de volume e fluxo de momento, aplicando as expressões para fluxo de volume e momento.

A vazão volumétrica através de uma seção de uma superfície de controle A é dada por

Q = ∫ V → d A →

Enquanto o fluxo de momento é:

m f = ρ ∫ V → ( V → d A → )

Passo 2

Considerando que estamos falando de um fluido incompressível, temos que a distribuição sendo linear é segundo a expressão dada no enunciado

V → = u i ^ = u m a x 1 - r R 2 i ^

Por ser um tubo circular, então o diferencial de área é d A → = 2 π r d r   i ^ . Então para a vazão do volume, temos

Q = ∫ V → d A → = ∫ u m a x 1 - r R 2 2 π r d r

Aplicando também os intervalos de integração de 0 a R :

∫ 0 R u m a x 1 - r R 2 2 π r d r = 2 π u m a x ∫ 0 R r - r 3 R 2 d r

= 2 π u m a x r 2 2 - r 4 4 R 2 0 R

= 2 π u m a x R 2 2 - R 4 4 R 2

= 2 π u m a x R 2 2 - R 2 4

Logo, Q = 1 2 π u m a x R 2

Passo 3

Para o fluxo de momento, segue-se o mesmo procedimento, apenas integrando...

m f = ∫ u m a x 1 - r R 2 { u m a x 1 - r R 2 2 π r d r }

m f = u m a x 1 - r R 2 { 2 π u m a x ∫ 0 R r - r 3 R 2 d r }

m f = 2 π u m a x 2 ∫ 0 R r - 2 r 3 R 2 + r 5 R 4 d r

= 2 π u m a x 2 r 2 2 - 2 r 4 4 R 2 + r 6 6 R 4 0 R  

Logo, m f = 1 3 π u m a x 2 R 2 .

Resposta

Q = 1 2 π u m a x R 2 e m f = 1 3 π u m a x 2 R 2

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